分级练(42) 构成空间几何体的基本元素、平面的基本事实与推论（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(42)　构成空间几何体的基本元素、平面的基本事实与推论 分级一　提能强化 1.(2023·山东烟台二中高三期末)在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的(　　) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：在空间中，若直线AB与CD没有公共点，则直线AB与CD平行或异面.故“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件.故选A. 2.(2023·山东临沂模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. A　解析：取AD的中点为F，连接EF，D1F(图略)，显然CD∥EF， 所以异面直线CD和D1E所成角就是直线EF和D1E所成角， 设正方体棱长为a，EF＝a，D1E＝＝， 所以cos ∠D1EF＝＝.故选A. 3.(2023·江苏南京模拟)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　　) A.与直线a，b都相交 B.至少与a，b中的一条相交 C.至多与a，b中的一条相交 D.与a，b中的一条相交，另一条平行 B　解析：因为α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β，则l与a平行或相交，l与b平行或相交，又a，b为异面直线，所以l不能与a，b同时平行，即l与a，b可都相交，也可能与一条相交，所以A，C，D错误，故选B. 4.(2022·江苏徐州模拟)如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝(　　) A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上均不正确 C　解析：∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l， ∴R∈l，l⊂β，R∈AB，∴R∈β. 又∵A，B，C三点确定的平面为γ， ∴C∈γ，AB⊂γ，∴R∈γ. 又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点， ∴β∩γ＝直线CR.故选C. 5.(2022·湖南雅礼中学模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D.2 A　解析：延长D1E与直线CD相交于点F，连接AF， 则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，又C1D1∥CD， ∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角， ∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF， ∴tan ∠AFD＝＝.故选A. 6.(2023·山东潍坊模拟)学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线中，异面直线有(　　) A.1对 B.3对 C.5对 D.2对 B　解析：作出正方体的图形如图所示. 则AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对.故选B. 7.(2022·福建福州三模)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　) A.AE＝CF，AC与EF是共面直线 B.AE≠CF，AC与EF是共面直线 C.AE＝CF，AC与EF是异面直线 D.AE≠CF，AC与EF是异面直线 D　解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线；有CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF.故选D. 8.如图，在四面体A­BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K，则M，N，K三点的位置关系是________. 答案：共线　解析：因为M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD， 所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 所以M在平面PQR与平面BCD的交线上. 同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M，N，K三点共线. 9.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________. 答案：30°或60°　解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，GF， 由已知得EG∥AB，FG∥CD，EG＝AB，FG＝CD， ∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，∠GEF或其补角是AB和EF所成的角. ∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE. 当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°； 当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°. 10.已知平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线CD1所成的角为________. 答案：60°　解析：如图所示，易知l∥BD，又CD1∥BA1，所以直线l与直线CD1所成的角即为直线BD与直线BA1所成的角.在等边三角形A1BD中，∠A1BD＝60°，即直线l与直线CD1所成的角为60°. 分级二　知能探究 11.(多选)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题有(　　) A.①②③⇒④ B.①③④⇒② C.①②④⇒③ D.②③④⇒① AC　解析：A，C显然正确；对B选项，若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，则B错误；对D选项，若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，则D错误.故选AC. 12.(2023·湖南高三开学考试)一封闭的正方体容器ABCD­A1B1C1D1，P，Q，R分别是AB，BC和C1D1的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 D　解析：如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体性质知RF∥PQ，所以F∈平面α.又RP∥MQ，所以M∈平面α.又EF∥RP，所以E∈平面α.所以六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.故选D. 13.(多选)在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC­A1B1C1展开，得到的平面图如图所示.其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则(　　) A.AM与A1C1是异面直线 B.AC⊥A1M C.平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D.A1M＋MC的最小值是 ABD　解析：由题设，可得如图所示的直三棱柱.由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正确； 由图知平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1­ACC1A1和三棱锥B1­ABC，一个五面体和一个四面体，C错误；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开为一个平面，如图. 当A1，M，C共线时，A1M＋MC最小，最小值为，D正确.故选ABD. 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为平面ACC1A1上一动点，且满足D1P⊥CP，则满足条件的所有点P围成的平面区域的面积为________. 答案：　解析：设O是A1C1的中点，如图，连接PO，由正方体的性质易知D1在平面ACC1A1上的射影为O，所以要使平面ACC1A1上一动点P满足D1P⊥CP，只需PO⊥CP即可，连接OC，所在点P的轨迹是以OC为直径的圆，而OC＝，所以满足条件的所有点P围成的平面区域的面积为S＝π·()2＝. 分级三　素能创新 15.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为________. 答案：π　解析：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是，，，，如图所示，则BE＝BH＝2.在直角三角形BAH中， cos ∠HBA＝＝，∴∠HBA＝，∠HBG＝－＝， ∴＝2×＝π，同理＝π.在直角三角形HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝，∴＝×＝.在等边三角形BCD中，∠CBD＝，∴＝2×＝.则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$