第8章 微点突破19 圆锥曲线中的“设而不求”问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

微点突破19　圆锥曲线中的“设而不求”问题 [对应学生用书P200] 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [例] (2024·河北石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，联立得x2－8kx＋8km－8n＝0，因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，所以k1＋k2＝，k1k2＝，又因为由x2＝8y得y′＝，所以x1＝4k1，y1＝＝2k，x2＝4k2，y2＝＝2k，所以kAB＝＝＝＝，因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此≤≤，即直线AB斜率的最大值为. (1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多． [训练] 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________. 答案：　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 相减得＋＝0，整理得＝－·. ∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－＝－， ∴a2＝2b2. 又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2， ∴＝.即椭圆C的离心率e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$