第8章 教考衔接6 椭圆的第三定义（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

教考衔接6　椭圆的第三定义 [对应学生用书P189] 人教版高中数学选择性必修第一册P108例3，可引出椭圆的第三定义，平面内与两定点连线的斜率之积为负常数(大于－1、小于0)的动点轨迹为椭圆(不含两定点)，可得出以下性质： A，B为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴上的两端点，点M为椭圆上不同于A，B的任意一点，则kAM·kBM＝－. 椭圆的中心弦：A，B，M为椭圆＋＝1(a>b>0)上不同的三点，且A，B关于原点对称，当直线AM，BM的斜率均存在时，则kAM·kBM＝－. 以上结果源于教材，又高于教材．对于高中数学，定义即方法，利用椭圆的第三定义可以较快解决选择题、填空题，也可以极大地降低压轴题的计算量． [例] 设椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点对称的两点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，若kPA·kPB＝－，则其e＝________. 答案：　解析：方法一(常规法) 设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－＝－. 故＝，e＝＝. 方法二(特殊位置法) 取A(－a，0)，B(a，0)，P(0，b).因此，kAP·kBP＝·＝－＝－，所以e＝. 方法三(椭圆第三定义) 因为kAP·kBP＝－＝－，所以e＝. [训练1] 已知A，B是椭圆＋y2＝1的左、右顶点，P是椭圆上异于A，B的一点，且直线PA斜率的取值范围是[－2，－]，则直线PB斜率的取值范围为________． 答案：[，1]　解析：设P(x0，y0)，则＋y＝1，所以y＝1－＝.显然A(－2，0)，B(2，0)，则kPA·kPB＝·＝＝－.所以kPB＝－∈[，1]. [训练2] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴AB上的99等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M99，过Mi(i＝1，2，…，99)点作斜率为k(k≠0)的直线li(i＝1，2，…，99)，依次交椭圆上半部分于P1，P3，P5，…，P197，交椭圆下半部分于点P2，P4，P6，…，P198，则这198条直线AP1，AP2，…，AP198的斜率乘积为________． 答案：－　解析：因为椭圆的离心率为，所以＝. 对于椭圆上非长轴端点任意一点P，则有kAPkBP＝·＝＝－＝－.再根据椭圆对称性得＝－.这198条直线AP1，AP2，…，AP198的斜率乘积为(－)99＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$