第8章 第9节 第5课时 存在性问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第五课时　存在性问题 课标解读 存在性问题是高考命题的热点内容，往往与证明问题结合考查．圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，有时与探究性问题综合，一般先假设结论成立，再进行论证． [对应学生用书P207] 考点　圆锥曲线中的存在性问题 [例] (2024·陕西咸阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(1，)，点F(1，0)为椭圆C的右焦点，过点F与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，解得 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)在线段OF上存在点M(m，0)，使得|MP|＝|MQ|.理由如下： 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l为x＝ty＋1(t≠0)， 联立直线与椭圆得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ>0恒成立， y1＋y2＝－，y1y2＝， 而|MP|＝|MQ|，即＝， 化简得(x－x)－2m(x1－x2)＋(y－y)＝0， 又因为x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1且y1－y2≠0， 所以(t＋)(y1＋y2)＝(t＋)()＝2m－2， 化简得m＝且t≠0， 所以m的取值范围为(0，). 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足·＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得解得 得椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，M(0，)，N(0，－)， ·＝－3，不符合题意，应舍去． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2). 由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 则Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)＞0，解得k＜－或k＞. x1＋x2＝－，x1x2＝， ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝. ∵·＝2，∴＝2， 解得k＝±，满足Δ＞0， 故存在符合题意的直线，其方程为y＝±x＋2. 2．(2024·广东广州模拟)在一张纸上有一个圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆心为点C，定点M(2，0)，折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T. (1)求出点T的轨迹E的方程； (2)若过点M且斜率为m(m>或m<－)的直线l交曲线E于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，得|TM1|＝|TM|， 由圆C：(x＋2)2＋y2＝4，得圆心C(－2，0)，半径为2， 所以||TM1|－|TC||＝||TM|－|TC||＝2<|CM|＝4，即T的轨迹是以C，M为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝4， 故b2＝c2－a2＝3， 所以轨迹E的方程为x2－＝1. (2)如图，令l：x＝ky＋2且－<k<，联立x2－＝1， 得(3k2－1)y2＋12ky＋9＝0，且Δ＝36(k2＋1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝， 所以x1＋x2＝k(y1＋y2)＋4＝，x1x2＝k2y1y2＋2k(y1＋y2)＋4＝， 故AB中点坐标为(，)， 则AB垂直平分线为x－＝－(y－)， 令y＝0，则x＝，即Q(，0)， 故|QM|＝＝， 又直线l交曲线E于A，B两点必在右支， 则|AC|－|AM|＝|BC|－|BM|＝2， 所以|AC|＋|BC|＝|AM|＋|BM|＋4＝|AB|＋4， 则|AC|＋|BC|－4＝|AB|， 而|AB|＝·＝， 综上，＝1为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$