第8章 第9节 第4课时 定值问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四课时　定值问题 课标解读 圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，也是高考重要的考点和热点之一．其求解步骤一般为 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等； 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以)； 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． [对应学生用书P205] 考点　圆锥曲线的定值问题 [例] (2024·贵州贵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上焦点F到上顶点的距离为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，与定直线l1：y＝9交于点D，设＝λ，＝μ，证明：λ＋μ为定值． (1)解：令椭圆C：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c， 则解得 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)证明：由(1)知，F(0，1)， 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0， 不妨令P(0，3)，Q(0，－3)，而D(0，9)， 则＝3，＝－3，此时λ＋μ＝3＋(－3)＝0； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋1(k≠0)， 由消去y，得(8k2＋9)x2＋16kx－64＝0， 易知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，D(x0，9)， 则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k·＋2＝， y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝k2·＋k·＋1＝， 由＝λ，得(x1－x0，y1－9)＝λ(－x1，1－y1)， 则λ＝(y1≠1)，同理由＝μ，得μ＝(y2≠1)， 则λ＋μ＝＋＝＝ ＝0.综上，λ＋μ为定值0. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． (2)两大解法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法，其解题流程为 1．(2024·湖北荆州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，左、右两个顶点分别为A1，A2，经过点B(4，0)的直线l交双曲线的右支于M，N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，|MN|＝2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求证：直线MA1，NA2的斜率之比为定值． (1)解：由题意可得2a＝4，a＝2， 当l⊥x轴时，直线l：x＝4，则－＝1⇒y＝±b， 又因为|MN|＝2＝2b⇒b＝，所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)证明：如图，由题意可知A1(－2，0)，A2(2，0)， 不妨设l：x＝ty＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 易知y1≠0，y2≠0， 联立双曲线方程得 消去x得(t2－2)y2＋8ty＋12＝0， 则且 不难发现ty1y2＝－(y1＋y2)， 由斜率公式可知＝，＝， 则∶＝＝＝＝＝－， 故∶＝－是定值． 2．(2024·河北衡水模拟)已知点M(1，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，过点N(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，直线MA，MB分别与y轴相交于点D，E. (1)当弦AB的中点横坐标为3时，求l的一般方程； (2)设O为原点，若＝m，＝n. 求证：为定值． (1)解：由点M(1，－2)在抛物线C：y2＝2px上，得p＝2， 抛物线C的方程为y2＝4x. 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得k2x2－(2k＋4)x＋1＝0. 依题意Δ＝(2k＋4)2－4×k2×1>0， 解得k>－1且k≠0.且x1＋x2＝，x1x2＝. 因为弦AB的中点横坐标为3，所以x1＋x2＝6， 即＝6，解得k＝1或k＝－， 所以l的一般方程为x－y－1＝0或2x＋3y＋3＝0. (2)证明：如图，直线MA的方程为y＋2＝(x－1)， 又y1＝kx1－1，令x＝0， 得点D的纵坐标为yD＝. 所以D(0，)，同理得E(0，). 由＝m，＝n， 得m＝1＋yD＝－，n＝1＋yE＝－. 所以＋＝＋＝ (－2)＝(2k＋4－2)＝2. 所以＝＝，即为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$