第8章 第9节 第3课时 定点问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三课时　定点问题 课标解读 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，是高考重要的考点和热点之一．其实质是当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动． [对应学生用书P204] 考点　圆锥曲线的定点问题 [例] (2024·北京丰台模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于A，B两点，若MA⊥MB，求证：直线AB过定点． (1)解：由题意得c＝，e＝＝，a2＝b2＋c2， 故可知a＝2，b＝1， 椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：如图，M为椭圆C的左顶点， 又由(1)可知：M(－2，0)，设直线AB的方程为：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程可得⇒ (t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0， 则Δ＝(2mt)2－4(t2＋4)(m2－4)>0，即t2＋4>m2， 由韦达定理可知：y1＋y2＝－，y1y2＝， ∵MA⊥MB，则·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝0⇒x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， 又∵∴(t2＋1)y1y2＋(mt＋2t)·(y1＋y2)＋(m＋2)2＝0，(t2＋1)(m2－4)＋(mt＋2t)(－2mt)＋(m2＋4m＋4)(t2＋4)＝0，展开后整理得5m2＋16m＋12＝0， 解得m＝－或m＝－2， 当m＝－2时，AB的方程为x＝ty－2，经过点M，不满足题意，舍去， 当m＝－时，AB的方程为x＝ty－，恒过定点(－，0). 综上，直线AB过定点． 求解圆锥曲线中定点问题的两种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 1．(2024·四川成都模拟)已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点P(1，2). (1)求抛物线方程； (2)若直线l与抛物线交于A，B两点，且满足·＝－4，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标． 解：(1)由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为y2＝2px， 因为经过点P(1，2)，所以4＝2p，解得p＝2， 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)如图， 设直线l的方程为：x＝my＋n， 联立方程 消去y得y2－4my－4n＝0， 由于交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Δ>0，即16m2＋16n>0， y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， 由＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 则·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝n2－4n＝－4. 解得n＝2，验证满足条件． 所以直线l的方程为x＝my＋2，即可得直线l恒过定点(2，0). 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点． (1)解：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝2py1，x＝2py2， 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0， 所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p， 因为kAB＝＝， 所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－， 所以直线AB过定点(0，－). 学科网（北京）股份有限公司 $$