第8章 第9节 第2课时 范围问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二课时　范围问题 课标解读 圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题． [对应学生用书P202] 考点　圆锥曲线的范围问题 [例] (2023·湖南长沙雅礼中学模拟)已知P(2，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点，过点D(1，0)且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点(点A在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线x＝1相交于M，N两点．当点A为椭圆C的上顶点时，k＝－1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若|MN|＝λ，且λ∈[2，3]，求实数k的取值范围． 解：(1)由题意可知，a＝2，当点A为椭圆C的上顶点时，k＝＝－1，解得b＝1. 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)如图， 依题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k<0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得x1<x2. 联立方程组 消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 直线AP的方程为y＝(x－2)， 令x＝1得yM＝－，同理可得yN＝－， 则|MN|＝yM－yN＝－＝＝＝＝ ＝－， 由2≤－≤3，解得≤k2≤1(k<0)， 得－1≤k≤－，即实数k的取值范围为[－1，－]. 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 1．(2024·辽宁大连模拟)已知曲线Γ在x轴上方，它上面的每一点到点Q(0，2)的距离减去到x轴的距离的差都是2.若点A，B，C分别在该曲线Γ上，且点A，C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. (1)求曲线Γ方程； (2)求的取值范围． 解：(1)曲线上每一点到点Q(0，2)的距离减去到x轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点Q(0，2)的距离与到直线y＝－2的距离相等，所以曲线Γ为抛物线， 因为p＝4，所以曲线Γ的方程为x2＝8y(x≠0). (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1>0，x2<0，x3>0， ＝，＝， 因为G为△ABC的重心，所以S△ABG＝S△CBG＝S1，∴S2＝·S1，S3＝·S1， 由相似三角形可知＝，＝， 且x1＋x2＋x3＝0， 可得＝·(＋)＝ (＋)＝(＋)， 令u＝，则＝(＋)＝(2＋－)＝[2＋]， 因为3|AM|<|BM|，所以3x1<－x2，故－<u<0，(u－1)·(u＋2)＝u2＋u－2∈(－，－2)， 综上，的取值范围为(，). 2．(2024·江苏南京期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(2，3)到其左右焦点F1，F2的距离的差为2. (1)求双曲线C的方程； (2)在直线x＋2y＋t＝0上存在一点Q，过Q作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求t的取值范围． 解：(1)依题意有双曲线的左、右焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)， 则解得 则b2＝c2－a2＝4－3＝1， 所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件； ②若切线的斜率存在，则设其斜率为k，Q(x0，y0)， 则切线方程为y＝k(x－x0)＋y0， 联立消去y并整理得 (1－3k2)x2＋6k(kx0－y0)x－3k2x＋6kx0y0－3y－3＝0， 则Δ＝[6k(kx0－y0)]2－4×(1－3k2)×(－3k2x＋6kx0y0－3y－3)＝0， 化简得12(kx0－y0)2－(36k2－12)＝0， 即(kx0－y0)2－(3k2－1)＝0， 化成关于k的一元二次方程(x－3)k2－2x0y0k＋y＋1＝0， 设该方程的两根为k1，k2，即为两切线的斜率， 所以k1·k2＝＝－1，即x＋y＝2， 又点Q(x0，y0)在直线x＋2y＋t＝0上， 所以直线x＋2y＋t＝0与圆x2＋y2＝2有交点， 所以d＝≤，即|t|≤，即－≤t≤， 故t的取值范围为[－，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$