第8章 第9节 第1课时 最值问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第九节　圆锥曲线的综合问题 第一课时　最值问题 课标解读 圆锥曲线中的最值问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求最值问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值问题． [对应学生用书P201] 考点　圆锥曲线的最值问题 [例] (2024·北京北师大实验中学模拟)已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(2，0)，椭圆与y轴的一个交点的坐标为(0，). (1)求椭圆的标准方程； (2)过点M(3，0)且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点(点A在点B左侧)，点A关于x轴的对称点为C，求△MBC面积的最大值． 解：(1)依题意有c＝2，b＝， 可得a2＝b2＋c2＝2＋4＝6， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝k(x－3)， 联立方程组 消去y并整理得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0， 由Δ＝324k4－4(3k2＋1)(27k2－6)>0得k2<， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故x1＋x2＝， x1x2＝. 已知x1<x2，且显然x1，x2均小于3. 所以S△MAC＝·|2y1|·(3－x1)＝|y1|(3－x1)， S△ABC＝·|2y1|·(x2－x1)＝|y1|(x2－x1). S△MBC＝|S△MAC－S△ABC|＝|y1|·[(3－x1)－(x2－x1)]＝|k|(3－x1)(3－x2)＝|k|[9－3(x1＋x2)＋x1x2]＝|k|(9－3·＋)＝≤＝，当且仅当k2＝时，等号成立，此时满足Δ>0. 所以△MBC面积的最大值为. 求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 1．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M，N. (1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值； (2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值． 解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 对y＝求导得y′＝， 故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和， 又∵两切线互相垂直，∴·＝－1，即x1·x2＝－4， 把y＝kx＋m代入C的方程得x2－4kx－4m＝0. 得x1x2＝－4m，故m＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由抛物线定义可知|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1， 由(1)和m＝2，知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k， 所以|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)·(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9， 所以当k＝0时，|MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9. 2．(2024·安徽联考)已知双曲线－＝1(a>b>0)左、右焦点为F1，F2，其中焦距为2，双曲线经过点D(4，3). (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点F2作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线OP，其中OP⊥MN，垂足为E，P为射线OP与双曲线右支的交点，求4|MN|－|OP|2的最大值． 解：(1)由题意得－＝1，c＝，a2＋b2＝7， 解得a＝2，b＝， 双曲线的标准方程为－＝1. (2)当直线MN斜率不存在时，|MN|＝3，|OP|＝2， 则4|MN|－|OP|2＝8， 当直线MN斜率存在时，如图，设其直线方程为y＝k(x－)， 联立双曲线方程得(3－4k2)x2＋8k2x－28k2－12＝0，则x1＋x2＝， x1·x2＝，Δ>0， ∵直线与双曲线交于右支，∴x1＋x2>0，x1x2>0，∴k2>， 则|MN|＝|x1－x2|＝ ·＝， 设射线OP方程为y＝－x，与双曲线的方程联立得， ∴x2＝，k2>，|OP|2＝， ∴－＝， ∴4|MN|－|OP|2＝12(－)·(4|MN|－|OP|2)＝ 12[5－(＋)]≤ 12(5－2)＝12， 当且仅当|OP|2＝4|MN|＝36时等号成立，最大值为12. 综上，4|MN|－|OP|2的最大值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $$