第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 课标解读 1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法． 2．会判断直线与圆锥曲线的位置关系． [对应学生用书P197] 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的 交点个数 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 0 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 1 a≠0 Δ＞0 两个不相等的解 2 Δ＝0 两个相等的解 1 Δ＜0 无实数解 0 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点． 2．圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·. 1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 答案：A 4．(人教B版选择性必修第一册P164T2改编)已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A，B两点，则线段AB的长为________． 答案： 5．(人教A版选择性必修第一册3.3.2例4改编)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________． 答案： “点差法”的常见结论 设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点： (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－； (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝； (3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标). [对应学生用书P198] 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) C　解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，所以e＝＝>＝. 2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 B　解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条． 3．已知直线l：y＝x＋1，椭圆C：＋y2＝1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为(　　) A．(－，) B．(－，) C．(，) D．(－，－) B　解析：由题意知，消去y，得2x2＋3x＝0，则Δ＝9－8＝1>0，xA＋xB＝－，所以A，B两点中点的横坐标为(xA＋xB)＝－，中点的纵坐标为1－＝，即线段AB的中点的坐标为(－，). 4．(多选)(2024·河北邯郸模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 BCD　解析：联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2).对A，令Δ＝12(8－m2)≥0，则有|m|≤2，错误；对B，令Δ＝12(8－m2)>0，则有|m|<2，正确；对C，令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，正确；对D，如图，直线y＝x－分别与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，正确． 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数 考点二　弦有关的问题 考法1　弦长问题 [例1] (2024·湖南长郡中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上一动点，|PF1|＋|PF2|＝4，椭圆C的离心率为，直线l过点Q(－3，0)交椭圆C于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若△F1AB的面积为，求直线l的方程． 解：(1)设椭圆C的半焦距为c，由已知有解得故椭圆C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－3，t≠0， 联立消去x，整理得(3t2＋4)y2－18ty＋15＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 且Δ＝(18t)2－4(3t2＋4)×15>0，即t<－或t>. 所以△F1AB的面积为S△F1AB＝|QF1|·|y1－y2|＝×2＝＝＝， 令＝n，得n2－16n＋9＝0， 解得n＝或n＝，从而t＝±2或t＝±. 故直线l的方程为x＝±2y－3，或x＝±y－3， 即x±2y＋3＝0，或21x±2y＋63＝0. 求解弦长的4种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． (2024·湖南邵阳模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－. (1)求抛物线的方程； (2)设直线y＝k(x－2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若|MN|＝2，求实数k的值． 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－， 所以－＝－，解得p＝1， 所以抛物线的方程为y2＝2x. (2)如图， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝k(x－2)代入y2＝2x， 消去y整理得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0. Δ＝4(2k2＋1)2－4k2·4k2＝16k2＋4>0， x1＋x2＝＝，x1x2＝4. |MN|＝|x1－x2|＝ ， |MN|＝＝2， 化简得(1＋k2)(16k2＋4)＝40k4，解得k2＝1，故k＝±1. 考法2　中点弦问题 [例2] (2024·河南联考)已知椭圆C：＋＝1，左右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点(，)平分． (1)求直线l的方程； (2)求△F1AB的面积． 解：(1)因为弦AB被点(，)平分， 所以设交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2＝2，y1＋y2＝， 则两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)， 所以直线l的斜率k＝＝－·＝－， 故直线l的方程为x＋2y－2＝0. (2)F1(－2，0)，联立椭圆与直线方程 得2y2－2y－1＝0，Δ>0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝， 又因为直线过点F2(2，0)， 所以S△F1AB＝|F1F2||y1－y2|＝×4×＝2. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法 根与系数 的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系 (2024·内蒙古呼和浩特模拟)如图，已知抛物线T：y2＝2px(p>0)和椭圆C：＋＝1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点． (1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值； (2)若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面积． 解：(1)在椭圆中，c2＝a2－b2＝2，所以c＝， 由＝，得p＝2. (2)设直线l：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程消去x得y2－2mpy－p2＝0， Δ＝4m2p2＋4p2>0，则 设AB的中点G(x0，y0)，则y0＝mp，x0＝m2p＋， 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则直线MN的斜率为－m，＋＝1，＋＝1， 相减得到＋＝0， 因为MN恰好被AB平分，所以G在MN上且G为MN中点， 即－my0＝0，即－m2p＝0，解得m2＝， 由点G在椭圆内，得＋<1，解得p2<2， 因为p∈N*，所以p＝1，所以S△OAB＝×|yA－yB|＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$