第8章 第7节 抛物线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第七节　抛物线 课标解读 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合思想． [对应学生用书P194] 1.抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与l垂直的直线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2； (2)焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为. 1．判断正误 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　×　　) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　×　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　×　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　　×　　) 2．(多选)(人教A版选择性必修第一册3.3.2思考改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝－x B．x2＝y C．y2＝x D．x2＝－y 答案：AB 3．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________. 答案： 4．(人教A版选择性必修第一册习题3.3T10改编)已知等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，则这个等腰直角三角形的斜边长为________． 答案：4p 5．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________. 答案：8 [对应学生用书P195] 考点一　抛物线的标准方程(自主完成) 1．(2024·山东青岛模拟)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x，4)在抛物线C上，|MF|＝5，则C的方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝－2y D．x2＝2y A　解析：抛物线x2＝2py的开口向上，由于M(x，4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________. 答案：x＝－　解析：抛物线C的焦点为F(，0)，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P(，p)，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－(x－).令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－. 3．(2024·广东梅州模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为__________. 答案：x2＝6y　解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，)，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，由y′＝，所以抛物线C在点M处的切线斜率为，因为抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝p，所以y0＝p.因为点M在线段EF上，所以＝，所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y. 求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：确定焦点或准线的位置，再定形：根据条件求p. (2)对于焦点在x轴上的抛物线，为避开讨论，设成y2＝mx(m≠0)，则焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.同理焦点在y轴上的抛物线也可设成x2＝my(m≠0). 考点二　抛物线的定义及应用 [例1] (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 (2)(2024·福建宁德模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1，3)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (1)B　(2)B　解析：(1)方法一　由题意可知F(1，0)， 准线方程为x＝－1，设A(，y0)， 由抛物线的定义可知|AF|＝＋1， 又|BF|＝3－1＝2， 由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2， 解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2)， 不妨取A(1，2)， 则|AB|＝＝＝2. 方法二　由题意可知F(1，0)，|BF|＝2， 所以|AF|＝2，抛物线通径为4， 所以|AF|＝2为通径的一半，所以AF⊥x轴， 所以|AB|＝＝2. (2)由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0，1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于点Q， 由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为3－(－1)＝4. 抛物线定义的应用技巧 (1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． (2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关． 1．(2024·江苏苏州模拟)已知抛物线x2＝my(m>0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为3，则m＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 C　解析：由题意，抛物线x2＝my(m>0)的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝3，解得m＝4. 2．(2024·湖北十堰模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点M(3，2)，且△MFP的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则△FMQ周长的最小值为(　　) A．4＋ B．4＋2 C．4＋ D．4＋2 B　解析：如图，由题可知，△MFP的面积为×p×2＝2，则p＝2.则有F(1，0)，准线方程为x＝－1，|MF|＝＝2，Q点到准线距离为|QQ′|，△FMQ的周长最小，需|QF|＋|MQ|最小，即|QQ′|＋|MQ|最小，所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，△FMQ的周长最小，且最小值为4＋2. 考点三　抛物线的几何性质及应用 [例2] (1)(2024·山东济宁模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　) A． B． C． D． (2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案： (1)B　(2) 解析：(1)由题得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2， ∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2， ∴x1＝2，x2＝.∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝. (2)由题意得直线方程为y＝(x－1)， 联立得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝， ∴|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝. 抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 1．(2024·河北唐山期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两点，若y－2y＝4，则＝(　　) A． B． C． D．2 A　解析：由抛物线C：y2＝4x，得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，又因y－2y＝4，所以4x2－8x1＝4，即x2＝2x1＋1，所以x2＋1＝2(x1＋1)，即|BF|＝2|AF|，所以＝. 2．(2024·福建泉州模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1，0)的直线l与C交于不同的两点M，N.若|NF|＝2|PF|，则|MF|＝________． 答案：　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线的对称性不妨令y1>0，y2>0，如图，显然|NF|＝2|PF|＝4， 而|NF|＝x2＋1，则x2＝3，y2＝2，于是直线l的方程为y＝(x＋1)，由得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，所以|MF|＝x1＋1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$