第8章 第6节 双曲线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第六节　双曲线 课标解读 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质． [对应学生用书P190] 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1.在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”． 2．离心率e＝＝＝. 1．判断正误 (1)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　×　　) (2)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　√　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　√　　) (4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　√　　) 2．双曲线－y2＝1的实轴长为(　　) A．4 B．2 C．2 D．2 D　解析：由题知，a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2. 3．(多选)(人教A版选择性必修第一册3.2.2练习T4改编)已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．y2－＝1 D．x2－＝1 答案：BC 4．(人教A版选择性必修一P121T3改编)已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (3)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. (4)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． [对应学生用书P191] 考点一　双曲线的标准方程 1．(2024·河北张家口开学考试)“k>2”是“－＝1表示双曲线”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2时，－＝1表示双曲线，所以“k>2”是“－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 2．(2023·湖南联考)若双曲线C：－＝1其中一条渐近线的斜率为2，且点(，2)在C上，则C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 A　解析：由题意可得＝2，则b＝2a，把点(，2)的坐标代入方程－＝1，得－＝1，a2＝2，所以b2＝8，则C的标准方程为－＝1. 3．(多选)(2024·河北唐山模拟)已知直线l经过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得|AB|的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为(　　) A．(4，2) B．(－2，2) C．(－2，－2) D．(3，－) ACD　解析：若直线l与C的两支交于顶点A，B，则|AB|min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，|AB|min＝，由题意得＝2a＝4，解得a＝b＝2，则C的方程为－＝1，把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上． 4．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线且经过点P(2，3)，则双曲线E的标准方程为____________，顶点坐标为____________． 答案：－＝1　(0，6)，(0，－6)　解析：根据题意，设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，又因为双曲线经过点P(2，3)，得－＝λ，即λ＝－4，所以双曲线的方程为－＝－4，其标准方程为－＝1，顶点坐标为(0，6)，(0，－6). 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 考点二　双曲线的定义及应用 [例1] (1)(2024·辽宁锦州期末)双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝(　　) A．7 B．9 C．19 D．3或7 (2)(2024·广东揭阳模拟)已知A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PA|＋|PF2|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 (3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． 答案：(1)B　(2)C　(3)2　解析：(1)由x＋y＝0，可得＝，解得a＝2，则c＝＝4.因为点M在双曲线C上，所以由双曲线定义，有可得|MF2|＝9. (2)由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝5，c2＝a2＋b2＝9，且F1(－3，0)，F2(3，0)，由题意，|PF2|－|PF1|＝2a，|PA|＋|PF2|＝|PA|＋2a＋|PF1|≥|AF1|＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F1共线时，等号成立． (3)方法一　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 方法二　＝＝＝2. [探究] 在本例(3)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________. 答案：2　解析：方法一　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵·＝0，∴⊥，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴＝|PF1|·|PF2|＝2. 方法二　＝＝＝2. 1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用． (2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系． 2．应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是两条射线或不存在． 1．设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．8 D．4 C　解析：由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8. 2．(2024·广东汕头模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________． 答案：24　解析：由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2，∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14，∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24. 考点三　双曲线的简单几何性质 考法1　双曲线的渐近线问题 [例2] (1)(2024·福建泉州模拟)已知双曲线C：－＝1的焦距为4，则C的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)(2024·河北邯郸模拟)若双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，则m＝(　　) A．－1 B．±1 C．2 D．±2 (1)A　(2)B　解析：(1)由题意得解得即双曲线C的方程为－＝1，故C的渐近线方程是y＝±x. (2)当λ>0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝，故＝，渐近线方程为y＝±x；当λ<0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－，故＝，渐近线方程为y＝±x.所以其渐近线方程为y＝±x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，所以－×＝－1，解得m＝±1. 涉及双曲线渐近线的常用结论 (1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x. (2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0). 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 考法2　双曲线的离心率问题 [例3] (1)(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点，＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是(　　) A． B． C．2 D．3 (2)(2024·吉林长春模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在右支上存在一点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则双曲线的离心率e的取值范围是________. 答案：(1)B　(2)(，＋∞)　解析：(1)如图，若P在第一象限，因为＝0，所以PF1⊥QF1，由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形， 因为△PF2Q的面积为4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝＝. (2)如图，过点F1且与渐近线y＝x平行的直线为y＝(x＋c)， 依题意，只需F2到直线y＝(x＋c)即bx－ay＋bc＝0的距离大于a即可，即>a⇒2bc>ac⇒2b>a⇒4(c2－a2)>a2，∴4c2>5a2，∴e＝>，∴双曲线的离心率e的取值范围是(，＋∞). 求双曲线离心率的方法 (1)求出a，b，c的值，根据e2＝＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等． 考法3　与双曲线有关的范围(最值)问题 [例4] (2024·辽宁抚顺模拟)已知双曲线C：－＝1的焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为－4 D．的最小值为－2 D　解析：根据题意，F1，F2的坐标为(0，)，(0，－)，设点P的坐标为(x，y)，则x∈R，故＝(－x，－y)·(－x，－－y)＝x2＋y2－6，又y2＝4(1＋)＝4＋2x2，故＝x2＋4＋2x2－6＝3x2－2，又x∈R，故当x＝0时，取得最小值－2，且其没有最大值，故的最小值为－2，无最大值． 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决． 1．(2024·河北统考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率e为(　　) A．2或 B． C． D．或2 A　解析：由题意得双曲线的渐近线为y＝±x，而两条渐近线的夹角为，故y＝±x的倾斜角为或，故＝或＝，e＝＝或2. 2．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若<0，则y0的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) A　解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0).因为<0，所以(－－x0)·(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以2＋2y－3＋y<0，所以－<y0<. 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________________． 答案：y＝±x　解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x. 学科网（北京）股份有限公司 $$