第8章 第5节 椭圆（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第五节　椭　圆 课标解读 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． [对应学生用书P186] 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，且e∈(0，1) c2＝a2－b2 (1)焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． (2)离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，椭圆越扁． 1．判断正误 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　×　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　×　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　√　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　√　　) 2．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案：B 3．(人教A版选择性必修第一册习题3.1.1练习1改编)如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________． 答案：4 4．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________． 答案：4或8　解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. 5．已知椭圆的一个焦点为F(6，0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是________________. 答案：＋＝1 6．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________． 答案：(，±1) [对应学生用书P187] 考点一　椭圆的标准方程 [例1] (1)(2024·湖北武汉模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋x2＝1 D．＋y2＝1 (2)(2024·福建厦门模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (1)B　(2)C　解析：(1)如图，由对称性得|AF2|＝|AB|＝， 又因为|F1F2|＝2， 则|AF1|＝＝＝，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，则b＝＝，椭圆标准方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＋＝1①，＋＝1②，两式作差可得＝，即·＝－，又因为y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，故kAB·＝－，kAB＝＝，所以＝，又因为c＝4，a2＝b2＋c2，解得b2＝8，a2＝24，所以E的方程为＋＝1. 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－，)，(，)，则椭圆的标准方程为________________. 答案：＋＝1　解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).由解得m＝，n＝. 所以椭圆的方程为＋＝1. 2．(2024·湖北十堰模拟)写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：____________． 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：由题意2c＝3，即c2＝，又a2－b2＝，例如a2＝3，则b2＝，标准方程可为＋＝1. 考点二　椭圆的定义及应用 [例2] (1)(2024·湖北孝感模拟)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2 m，则该椭球的高为(　　) A． m B． m C． m D． m (2)(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．＝2 C．点P到x轴的距离为 D．＝2 (1)B　(2)BCD　解析：(1)根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下， 根据椭圆的定义△PQF1的周长为|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝3×2c，即2a＝3c　①，由该椭球横截面的最大直径为2 m，可知2b＝2 m，得b＝1，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1　②，①②联立可得c＝，a＝，所以该椭球的高为2a＝ m. (2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故＝|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；·cos ∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确． 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 1．(2024·湖南衡阳模拟)椭圆＋＝1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2面积为，则△AF1F2的周长为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 C　解析：设椭圆＋＝1(a>)的半短轴长为b，半焦距为c，则b＝，△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c，由题知c＝，所以c＝1，a＝＝2，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以△AF1F2的周长为4＋2＝6. 2．(2024·四川成都月考)设椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，若|AF|＝1，那么|BF|＝________. 答案：3　解析：根据题意，直线AB过原点，由椭圆的对称性可知，|OA|＝|OB|，如图所示，已知|OF|＝|OF′|，所以四边形AFBF′是平行四边形，则|BF|＝|AF′|，由椭圆的定义可知，|AF|＋|AF′|＝2a＝4，|AF|＝1，所以|BF|＝|AF′|＝3. 3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案：6＋　6－　解析：椭圆方程可化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，∵F1(2，0)，∴|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又∵－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. 考点三　椭圆的几何性质 考法1　求离心率的值或范围 [例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． (2)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为A.已知Q(c，a)，|F2Q|>|F2A|，P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是________． 答案：(1)A　(2)(，1)　解析：(1)方法一(直接求解法)　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝. 方法二(选项代入验证法)　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意． (2)如图，∵|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝，|F1F2|＝3c，∴<3c⇒e>，又∵|F2Q|>|F2A|，∴>⇒<⇒e>，又椭圆离心率e∈(0，1)，综上e∈(，1). 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 考法2　最值(范围)问题 [例4] (1)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 (2)P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　　) A．[0，15] B．[5，15] C．[5，21] D．(5，21) (1)A　(2)C　解析：(1)方法一　由题意知B(0，1).设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)，则|PB|＝.①由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2).②　把②代入①，得|PB|＝＝(－1≤y≤1)，易知当y＝－时，|PB|max＝. 方法二　由题意知B(0，1)，设点P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]，则|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6.又因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝－时，(|PB|2)max＝－＋＋6＝，所以|PB|max＝. (2)由题意知，圆N的圆心N(1，0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5，21]. 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． 1．(2024·山西高三联考)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＝|F1F2|，cos ∠PF2F1＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝m，由余弦定理可得＝，解得m＝c，根据椭圆的定义，则|PF1|＋|PF2|＝3c＝2a，离心率为＝. 2．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为(　　) A． B． C．5 D．2 C　解析：设P(x0，y0)，则由题意得x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－3(y0＋)2＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5. 3．(2024·海南模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．[，1) B．(0，] C．[，1) D．(0，] C　解析：如图，设椭圆左右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知：四边形AFBF1为平行四边形，且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，在△AFF1中，FF＝AF2＋AF－2AF·AF1·cos ∠FAF1＝(AF＋AF1)2－3AF·AF1，∴(AF＋AF1)2－FF＝3AF·AF1≤3()2(当且仅当|AF|＝|AF1|时等号成立)，可得(AF＋AF1)2≤FF，即a2≤4c2，则e＝≥，∴椭圆的离心率e∈[，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$