第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课标解读 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． [对应学生用书P183] 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系(最重要). d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 位置关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程求方程组解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1．判断正误 (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　√　　) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　×　　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　√　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　√　　) 2．(人教A版选择性必修第一册P93T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案：B 3．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为(　　) A． B． C． D． 答案：A 4．(人教A版选择性必修第一册P98T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 答案：内切 [对应学生用书P184] 考点一　直线与圆的位置关系(自主完成) 1．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下命题中正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 AC　解析：将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点(3，1)在圆内，故直线l与圆C恒相交，故AC正确． 2．(2024·江苏南京开学考试)设O为坐标原点，A为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0上一个动点，则∠AOC的最大值为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图所示， 当直线AO与圆相切时，A为切点，此时∠AOC最大，易得AC⊥AO，由x2＋y2－4x＋2＝0⇒(x－2)2＋y2＝2，即C(2，0)，|AC|＝，所以sin ∠AOC＝⇒∠AOC＝. 3．(2024·云南高三联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，若直线l：y＝kx＋3上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k的取值范围为(　　) A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞) C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞) B　解析：设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得＝2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋(y＋1)2＝4有公共点，所以≤2，即k2≥3，解得k≤－或k≥.所以k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞). 4．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是____________. 答案：[，]　解析：方法一　由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以kA′B＝， 所以直线A′B的方程为y＝x＋a， 即(3－a)x－2y＋2a＝0. 由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1， 所以≤1， 整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤， 所以实数a的取值范围是[，]. 方法二　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1， 由题意知该对称圆与直线AB有公共点． 直线AB的方程为y＝x＋a， 即(a－3)x－2y＋2a＝0， 又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以≤1， 整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤， 所以实数a的取值范围是[，]. 方法三　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1， 由题意知该对称圆与直线AB有公共点． 设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋3＋2k＝0， 因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以≤1，解得－≤k≤－， 又k＝，所以－≤≤－， 解得≤a≤，所以实数a的取值范围是[，]. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 考点二　直线与圆的位置关系的应用 考法1　切线问题 [例1] (1)(2024·山东济南开学考试)过点(－2，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 (2)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________． 答案：(1)D　(2)　－　解析：(1)圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，圆心坐标为(2，0)，半径r＝(m>－4)，过点(－2，0)与圆相切的两条直线垂直，则点(－2，0)到圆心(2，0)的距离为r，即4＝×，解得m＝4. (2)由题意，两圆圆心C1(0，0)，C2(4，0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－. 圆的切线方程的求法 几何法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k 代数法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k 考法2　弦长问题 [例2] (1)(2024·山东济宁模拟)若直线kx－y＋1－2k＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．2 C． D． (2)(2024·广东揭阳模拟)若直线l：mx＋ny＋m＝0将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成弧长之比为2∶1的两部分，则直线的斜率为(　　) A．± B．± C．± D．± (1)B　(2)D　解析：(1)直线kx－y＋1－2k＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒过定点M(2，1)，而(2－1)2＋12<4，即点M在圆C内，如图，因此当且仅当AB⊥CM时，|AB|最小，而圆C的圆心C(1，0)，半径r＝2，|CM|＝， 所以|AB|min＝2＝2＝2. (2)令直线l与圆C交于点A，B，如图，依题意，∠ACB＝120°，而圆C的圆心C(2，0)，半径r＝2， 因为∠ABC＝30°，所以点C到直线l的距离d＝r sin 30°＝1，于是d＝＝1，整理得n＝±2m，所以直线l的斜率k＝－＝±. 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 1．(2024·河北承德模拟)已知直线l：2x－y－2＝0被圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截得的线段长为，则m＝(　　) A．2 B．4 C． D．5 B　解析：由圆C方程得：圆心C(1，－2)，半径r＝＝，∵圆心C到直线l的距离d＝＝，∴2＝2＝，解得m＝4. 2．(2023·山东临沂高三开学考试)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则过原点且与C相切的直线方程为________________． 答案：3x＋4y＝0或x＝0　解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标C(2，1)，半径r＝2，当切线l的斜率不存在时，l：x＝0，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线l的斜率存在时，设斜率为k，l：y＝kx，由圆心到切线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，所以直线方程为3x＋4y＝0. 3．已知圆心为(1，m)的圆与x轴相切，且与直线x－2y＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m＝________． 答案：3或－7　解析：因为圆心为(1，m)的圆与x轴相切，所以圆的半径为|m|，圆心到直线的距离d＝，根据垂径定理得到|m|2＝4＋d2，所以m2＝4＋，解得m＝3或m＝－7. 考点三　圆与圆的位置关系 [例3] (1)(2024·山东济南模拟)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－] B．[，＋∞) C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞) (2)(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若圆C2与x轴相切，则m＝2 B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离 C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0 D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点 (1)D　(2)BD　解析：(1)将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞). (2)因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确． 1．判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 1．(2024·山东潍坊模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0，0)，A(3，4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：如图，分别以O，A为圆心，以1，4为半径作圆，因为|OA|＝＝5＝1＋4， 所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条． 2．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 AD　解析：由x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＝0作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确，B错误；对于C，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，圆O1的半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C错误；对于D，点P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为d＋r＝＋1，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$