第8章 第3节 圆的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三节　圆的方程 课标解读 1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． [对应学生用书P180] 1.圆的定义及方程 1.不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 2．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 1．判断正误 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　√　　) (2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　√　　) (3)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　　×　　) 2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 答案：D 3．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为________________. 答案：(x－2)2＋y2＝25(y≠0) 1．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： (1)当F＝0时，圆过原点． (2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． (3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． (4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [对应学生用书P181] 考点一　圆的方程(自主完成) 1．(2024·湖北武汉模拟预测)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，所以22＋42－4a>0，解得a<5，所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件． 2．(2024·广西高三统考)若直线x＋2y＋1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 D　解析：因为直线x＋2y＋1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，且该圆的圆心为(a，0)，所以直线过圆心，即a＋1＝0，解得a＝－1. 3．(2024·山东临沂开学考试)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋4x－2y＋7＝0 B．x2＋y2－8x－2y－9＝0 C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0 D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0 B　解析：由题意，所求圆的圆心为(4，1)，圆的直径为＝2，半径为，所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0. 4．(2024·陕西榆林期末)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y－3)2＝8 C．(x－3)2＋(y－6)2＝2 D．(x－3)2＋(y－6)2＝10 A　解析：圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，可得线段AB的中点为(3，4)，因为kAB＝＝－1，所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0，由解得即C(2，3)，圆C的半径r＝＝2，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. 求圆的方程的2种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 考点二　与圆有关的轨迹问题 [例1] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0). (1)求直角顶点C的轨迹方程； (2)求直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又因为kAC＝，kBC＝，所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 1．(2024·云南红河模拟)已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足·＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值) 答案：0或1(只写一个即可)　解析：由题设知⊥，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1，1)到y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离范围为[0，]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1. 2．已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 因为|OP|2＝4|ON|2＝x2＋y2，|BN|2＝(x－1)2＋(y－1)2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 考点三　与圆有关的最值问题 考法1　圆上的点到直线的最值问题 [例2] (2024·湖北华中师大一附中考模拟)已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且|AB|＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则△PAB的面积的最大值为(　　) A．＋1 B．2＋2 C．－1 D．2－2 A　解析：把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，则圆心D(－1，0)，半径r＝2，圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2.因为|AB|＝1，所以△PAB的面积的最大值为×(2＋2)×1＝＋1. 设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离． 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d； 如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r； 如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d. 考法2　斜率型、距离型、截距型最值问题 [例3] (多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2＋y2的最大值为＋2 D．x＋y的最大值为3＋ ABD　解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如图， 因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以∈[0，]，所以()max＝，()min＝0，A，B正确；因为x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2最大值为(|OC|＋1)2，又因为|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，C错误，因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋)，所以当θ＝时，即x＝2＋，y＝1＋时x＋y取最大值，最大值为3＋，D正确． 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 考法3　利用对称性求最值 [例4] (2024·湖北鄂州模拟)已知圆x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________. 答案：2－1　解析：根据题意画出圆x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图， 作B关于x轴的对称点B′(6，－2)，连接圆心与B′，则与圆的交点A，|AB′|即为|PA|＋|PB|的最小值，|AB′|为点(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝－1＝2－1. 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路 (1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离． (2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 1．(2024·河北联考)设曲线y＝x4在点(1，1)处的切线为l，P为l上一点，Q为圆C：(x－5)2＋y2＝上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． A　解析：y′＝4x3，y′|x＝1＝4，则l的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3，因为圆心C(5，0)到l的距离为，所以|PQ|的最小值为－＝. 2．在平面内，一只蚂蚁从点A(－2，－3)出发，爬到y轴后又爬到圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝2上，则它爬动的最短路程是________． 答案：4　解析：由圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，得圆心坐标C(－3，2)，半径为，求得点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，可得|A′P|＝|A′C|－r＝－＝4.如图所示，可得爬动的最短路程为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$