第8章 第2节 两条直线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二节　两条直线的位置关系 课标解读 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． [对应学生用书P177] 1.两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 谨防2个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 2．三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直线 的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行线 间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ 谨防2个易错点 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．判断正误 (1)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　×　　) (2)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　×　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　×　　) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　√　　) 2．(人教A版选择性必修第一册P67T8改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 答案：D 3．(人教A版选择性必修第一册P77T3改编)已知点B(m，6)到直线3x－y＋6＝0的距离为3，则实数m的值为______． 答案：± 4．两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为______． 答案：　解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝. 1．2个充要条件 (1)两直线平行的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)两直线垂直的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：A1A2＋B1B2＝0. 2．常用的结论 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). [对应学生用书P178] 考点一　两条直线平行与垂直 1．(2024·安徽蚌埠模拟)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 B　解析：若l1⊥l2，则(3－a)×(－)＝－1，解得a＝1或a＝2.故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件． 2．(2024·辽宁丹东模拟)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(　　) A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 A　解析：由题意，直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)·x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，解得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合． 3．(2024·重庆模拟)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y－1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 C　解析：由题意解得则m＋n＝－2. 4．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． 答案：4x＋3y－6＝0　解析：由方程组得即P(0，2).∵l⊥l3，∴直线l的斜率k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 两直线位置关系的判断方法 已知两直线的 斜率存在 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1 已知两直线的 斜率不存在 当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合 已知两直线的 一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.此法可避免对斜率是否存在进行讨论 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 考点二　距离问题 [例1] (1)已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 (2)(2024·安徽黄山屯溪一中模拟)若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则a的值为(　　) A．4 B．－6 C．4或－16 D．8或－16 (1)B　(2)C　解析：(1)|PM|的最小值即为点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，由＝1，得|PM|的最小值为1. (2)将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝＝，根据题意可得＝，即|a＋6|＝10，解得a＝4或a＝－16. 两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． 1．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　) A．(5，＋∞) B．(0，5] C．(，＋∞) D．(0，] D　解析：当PQ与l1，l2垂直时，|PQ|为l1，l2间的距离的最大值，∵|PQ|＝＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，]. 2．直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______________． 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1　解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.∵＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意． 考点三　对称问题 考法1　中心对称问题 [例2] 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________. 答案：x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由截距式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解． 考法2　轴对称问题 [例3] (2024·山西大同模拟)直线3x＋4y＋5＝0关于直线x＝1对称的直线方程为(　　) A.3x－4y＋13＝0 B．3x－4y－11＝0 C．3x＋4y－11＝0 D．3x＋4y＋13＝0 B　解析：设点P(x，y)是所求直线上任意一点，则P(x，y)关于直线x＝1对称的点为P′(2－x，y)，且在直线3x＋4y＋5＝0上，所以，代入可得3(2－x)＋4y＋5＝0，整理得3x－4y－11＝0，所以，所求直线方程为3x－4y－11＝0. 轴对称问题的解法 (1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有 (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．(2024·广东潮州模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A．5 B．3 C．45 D．5 B　解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A′B|＝＝3. 2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) B　解析：由题知直线l1过定点(4，0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故可知直线l2所过定点为(0，2). 3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) C　解析：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得故BC所在直线方程为 y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2，4). 学科网（北京）股份有限公司 $$