第8章 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第一节　直线的倾斜角、斜率与直线方程 课标解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). [对应学生用书P174] 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 2．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 1．判断正误 (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　√　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　×　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　×　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　×　　) 2．(人教A版选择性必修第一册习题2.1T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 答案：A 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D　解析：因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________． 答案：　 5．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈[0，)时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈(，π)时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． [对应学生用书P175] 考点一　直线的倾斜角与斜率(自主完成) 1．(2024·山西大同模拟)若过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，则y的值为(　　) A． B．0 C．－ D．3 B　解析：因为过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，所以直线MN斜率为k＝＝tan 150°，即k＝＝－，解得y＝0. 2．(2024·安徽合肥模拟)已知直线l的一个方向向量p＝(sin ，cos )，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． A　解析：由题意可得直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为. 3．(2023·湖北联考模拟)已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．k≥2或k≤ B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D．≤k≤2 A　解析：如图，已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)，MA的斜率为＝2，MB的斜率为＝，则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤. 4．(2024·河南郑州模拟)已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是(　　) A．(0，]∪[π，π) B．[0，]∪[，π) C．[，] D．[，] B　解析：x sin α＋y－1＝0，则k＝－sin α∈[－，]，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<)，则k＝tan θ∈[－，]，当k∈[0，]时，直线l的倾斜角θ∈[0，]；当k∈[－，0)时，直线l的倾斜角θ∈[，π). 综上所述：直线l的倾斜角θ∈[0，]∪[，π). (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法． (2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性． 考点二　直线的方程(自主完成) 1．(2024·山西大同模拟)如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号．令x＝0，得y＝－>0；令y＝0，得x＝－>0.综上，直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限． 2．(2023·福建龙岩一中模拟)在△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是(　　) A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0 A　解析：设AB边上的高所在的直线为l，因为kAB＝＝，所以直线l的斜率kl＝－2.又l过C(2，3)，所以l的方程为y－3＝－2(x－2)，整理可得，2x＋y－7＝0. 3．(2024·湖北黄冈模拟)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0或x－y＋3＝0 D．2x－y＝0或x－y＋1＝0 D　解析：当直线过原点时，满足题意，直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，∵直线过(1，2)，∴－＝1，解得a＝－1，即直线方程为x－y＋1＝0. 4．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)·y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________． 答案：(1)－　(2)－2　解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3得，直线过点(－3，0)，代入方程得(m2－2m－3)×(－3)－0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－，经检验可知当m＝3时，直线方程为y＝0，不合题意(舍去)，即m＝－. (2)由直线l的斜率为1得，直线方程中x，y的系数互为相反数，且不为0，所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1，经检验可知当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不合题意(舍去)，即m＝－2. 求直线方程的方法 直接法 根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程 待定 系数法 先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程 (1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0. (2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0. 考点三　直线方程的综合问题 考法1　与直线有关的最值问题 [例1] 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A(2－，0)，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝ [4＋(－4k)＋(－)]≥×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立． 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1， 则1＝＋≥2，故ab≥8， 故S△AOB＝×ab≥×8＝4， 当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时取等号， 故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. [探究] 在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时， 直线l的方程为x＋y－2－＝0. 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y； (2)将问题转化成关于x或y的函数； (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值． 考法2　由直线方程求参数范围问题 [例2] 已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与A(－1，0)，B(1，0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　　) A．[－，] B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．以上都不对 D　解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3(x≠±1).联立得(－3)x2＋x＋6＝0(m≠0)，则Δ＝()2－24(－3)≥0，且－3≠0，解得m≤－或m≥，且m≠±.故实数m的取值范围是(－∞，－)∪(－，－]∪[，)∪(，＋∞). 含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能看出定点坐标或斜率的变化，数形结合解决参数问题． 1．(2024·黑龙江大庆模拟)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，则2a＋b的最小值为______． 答案：7＋4　解析：∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，∴＋＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋4＝7＋4，当且仅当b＝a，即a＝2＋，b＝2＋3时取等号，即2a＋b的最小值为7＋4. 2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 即无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意． 故k的取值范围为[0，＋∞). (3)解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得A(－，0)，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝(4k＋＋4)≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当k>0且4k＝，即k＝时等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$