第7章 微点突破16 动态问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

微点突破16　动态问题 [对应学生用书P155] 立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题，因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍；但又因其是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养，以下利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析，探求解决此类问题的若干途径． 拓展1　“动态”中研究“特定静态”——“一题多考” [例1] (多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有(　　) A．线段PQ长度的最小值为2 B．满足PQ＝2的情况只有4种 C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直 D．三棱锥P­ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关 ABD　解析：对于A，当P、Q分别为线段B1D1、AC的中点时，PQ是异面直线B1D1、AC的公垂线，此时线段PQ长度最小为2，故A正确；对于B，PQ＝2，只能是面对角线，此时PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四种，故B正确；对于C，当P与B1重合，Q与C重合时，此时直线PQ(即B1C)与平面BC1D1垂直，故PQ⊥BD1，故C错误；对于D，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面△QBA的面积随着点Q的移动而变化，∴三棱锥P­ABQ的体积只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D正确． 本题通过点P，Q的“动”考查了最值、垂直、体积等问题，实现了一题多考，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征和垂直的判定定理及性质定理，需具备较强的直观想象能力． 拓展2　“动态”中研究“以静制动”——“最值问题” [例2] 已知在如图所示的正三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC的长为，底面△ABC的边长为2，D为AC的中点，E为AB的中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN的最小值为(　　) A． B． C． D． B　解析：将正三棱锥P­ABC放入棱长为的正方体AGIJ­PCHB中，如图1所示，先固定点M，那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离．连接GH，设GH的中点为F，连接PF，DG. 由题意得，平面PGF⊥平面PCE，且交线为PF，故MN⊥PF，所以M在PD上运动时，N在PF上运动．把平面AGP和平面PGF沿PG展开，示意图如图2所示，作AN′⊥PF交PG于点M′，则AN′即所求，(AM＋MN)min＝AN′＝AP·sin (45°＋30°)＝. 对于立体几何中的双动点问题，可先固定一个动点，如本题先固定点M，那么MN的最小值就是点M到平面PCE的距离，进而求得AM＋MN的最小值．这类题通常需要利用展开图，数形结合，达到化动为静，以静制动的目的，从而求解． 拓展3　“动态”中研究“变量”——“翻折问题” [例3] (多选)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD(如图2)，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　) A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90° C．CA′与平面A′BD所成的角为30° D．四面体A′­BCD的体积为 BD　解析：取BD的中点O，连接A′O，OC(图略)，因为A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以A′O⊥平面BCD，因为CD⊥BD，所以OC不垂直于BD，若A′C⊥BD，与以上矛盾，A错误；由A′B＝A′D＝1，BD＝，得BA′⊥DA′.因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由DA′∩CD＝D，DA′，CD⊂平面A′CD，得BA′⊥平面A′CD.所以BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°，B正确；∠CA′D为直线CA′与A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；由题意知AB＝AD＝CD＝1，VA′­BCD＝VC­A′BD＝×1××1×1＝，D正确． 解决翻折问题，要分析翻折前后的“变量”与“不变量”，在翻折前要标注重要的点或重要的量，分析其在翻折后的变化情况．具体到本例，应重视垂直关系“BA′⊥DA′，CD⊥BD”，才能顺利地由平面A′BD⊥平面BCD得出CD⊥平面A′BD，CD⊥BA′，再得到BA′⊥平面A′CD，从而解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$