第7章 微点突破15 截面问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

微点突破15　截面问题 [对应学生用书P151] 多面体的截面问题是高考的热点，主要考查截面形状的判断、截面周长或面积，解决这类问题的难点就是准确作出截面． (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作截面的三种常用方法：①直接法，解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上；②作平行线法，解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行；③延长交线得交点，解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上． 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 C　解析：先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形． 2．(2024·河北模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为棱AA1，CC1的中点，点Q是棱A1D1上靠近点D1的三等分点，则平面MNQ截该正方体所得截面的面积为(　　) A． B．2 C．10 D．12 B　解析：如图所示， M，N分别是AA1，CC1的中点，则MN∥A1C1∥AC，作QE∥A1C1，交C1D1于E，连接EN，并延长交DC的延长线于点K，连接QM，并延长交DA的延长线于点T，连接TK交AB于点G，交BC于点F，则六边形QENFGM为过M，N，Q三点的截面． 由面面平行的性质定理得TK∥QE，从而有TK∥AC，A1Q＝2，D1Q＝1，则D1E＝D1Q＝1，C1E＝A1Q＝2，因为N是CC1中点，C1E∥CK，得△C1EN≌△CKN，所以CK＝C1E＝2，又因为TK∥AC，所以CF＝CK＝2，同理AG＝2，BG＝BF＝1，QE＝，MN＝3，EN＝＝，梯形QENM是等腰梯形，且梯形QENM与梯形FGMN全等，高为h＝＝，截面面积S＝2×(QE＋MN)h＝2. 3．如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________. 答案：3　解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示， 因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$