第7章 第9节 空间距离（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第九节　空间距离 课标解读 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． [对应学生用书P168] 空间向量与距离 直线外一点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝＝ 平面外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝＝ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．(人教A版选修第一册P35练习2改编)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝－＝－4.又||＝，所以AC边上的高BD的长为＝5. [对应学生用书P169] 考点一　几何法求距离 1．(2024·山东济宁模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：＝··DC，＝·C1E·BC＝×1×2＝1，DC＝2，则＝.在△BED中，由题意及勾股定理可得BE＝DE＝，BD＝2，则由余弦定理可得cos ∠BED＝＝，则sin ∠BED＝＝.则S△BDE＝BE·DE·sin ∠BED＝.设C1到平面EBD的距离为d，则＝S△BDE·d.又＝，则＝S△BDE·d＝⇒d＝＝. 2. (2024·山东临沂模拟)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝AA1＝1，BC＝2，点M是BC的中点，点P是线段A1B上一动点，点Q在平面AMC1上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A. B． C． D．1 A　解析：如图，连接A1C交AC1于点O，连接OM， ∵O，M分别为A1C，BC的中点，则OM∥A1B，且OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1，则点P到平面AMC1的距离相等，设为d，则P，Q两点之间距离的最小值为d，即点A1到平面AMC1的距离为d，∵A1C的中点O在AC1上，则点C到平面AMC1的距离为d，由题意可得为AC＝CM＝C1C＝1，AC1＝AM＝MC1＝，由，则×d××××＝×1××1×1，解得d＝，故P，Q两点之间距离的最小值为d＝.故选A. 利用几何法求空间距离的策略 (1)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． (2)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (3)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． 考点二　向量法求距离 考法1　求点到直线的距离 [例1] 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________. 答案：　解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，|GD1|＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 考法2　求点到平面的距离 [例2] 三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形． (1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)； (2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离． 解：(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求．如图所示． (2)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2， 所以AC＝4，∠BAC＝30°，AM＝AB＝， 所以M(，，0)，D(0，2，0)，C(0，4，0)， 因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC， 所以E(0，3，1)，故＝(0，－1，1)，＝(，－，0)，＝(0，1，1). 设平面DME的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则有即 令x＝1，则y＝，z＝－，所以m＝(1，，－). 所以点C到平面α的距离d＝＝＝. 点面距的求解步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 1．(2024·江苏常州模拟)在空间直角坐标系中，点A(1，2，3)关于y轴的对称点为点B，则点C(3，0，1)到直线AB的距离为________． 答案：　解析：由题意，B(－1，2，－3)，＝(－2，0，－6)，则||＝＝2，∴的单位方向向量u＝＝(－，0，－)，又∵＝(2，－2，－2)，∴·u＝－×2＋×2＝，∴点C到直线AB的距离为d＝＝＝. 2．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1＝，点E为A1C1的中点． (1)求证：C1B⊥平面ABC； (2)求点A到平面BCE的距离． (1)证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B. 在△BCC1中，BC＝1，BC1＝，CC1＝2， 所以BC2＋BC＝CC，所以CB⊥C1B. 因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以C1B⊥平面ABC. (2)解：由(1)知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC， 以B为原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 则B(0，0，0)，A(0，0，2)，E(－，，1)，C(1，0，0). ＝(1，0，0)，＝(－，，1). 设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝，则x＝0，z＝－3，所以n＝(0，，－3). 又因为＝(1，0，－2)， 故点A到平面BCE的距离 d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$