第7章 第8节 向量法求空间角（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第八节　向量法求空间角 课标解读 1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序． 2．体会向量法在研究空间角问题中的作用． [对应学生用书P165] 空间向量与空间角 空间角 向量求法 范围 异面直 线所成 的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝ (0，] 直线与 平面所 成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝ [0，] 二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ [0，π] 两个 平面 的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角； 设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝ [0，] 1．用向量法求异面直线所成角时，两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a，n〉|. 3．用向量法求二面角时，通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角． 1．判断正误 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　×　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　×　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　×　　) (4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].(　　√　　) 2．(人教A版选择性必修第一册·1.4.2练习T1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 答案：A 3．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD.则直线BC与平面PAC所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：A 4．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，Q为B1C1的中点，点P在棱AA1上，AP∶AA1＝1∶3.则平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值为________． 答案： [对应学生用书P166] 考点一　异面直线所成的角 1．(2024·重庆渝中巴蜀中学模拟)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，则直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：取AC的中点O，连接OB，则OB⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－，0)，B1(，0，1)，B(，0，0)，C1(0，，1)，所以＝(，，1)，＝(－，，1)，设直线AB1与直线BC1的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，即直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为. 2．(2024·江西新余模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，因为四边形ABCD为正方形，可得AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝2，则PA＝2，可得B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，F(1，1，1)，E(1，2，0)，所以＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，所以cos 〈，〉＝＝＝－，设异面直线BF与PE所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝，所以sin θ＝＝＝. 3．(多选)在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝CD＝2，△ABD为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为(　　) A. B．1 C． D． AC　解析：由△ABD为等边三角形，取BD的中点O，连接AO，则AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，由BD⊥CD过O作与CD平行的直线为y轴，分别以OB，OA所在直线为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为BD＝CD＝2，则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(－1，2，0)，A(0，0，)，所以E(－，1，).设F(a，0，＋a)，a<0，则＝(，1，)，＝(a－1，0，＋a)，则＝，解得a＝－或a＝－，故AF＝AD＝或AF＝AD＝. 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是(0，]，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 考点二　直线与平面所成的角 [例1](2024·河北唐山模拟)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2 AD＝2，E是棱CD的中点． (1)求证：平面AED1⊥平面BEB1； (2)若异面直线EB1与DC1所成角为30°，求EB1与平面AED1所成角的正弦值． (1)证明：依题意，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设D1(0，0，h)(h>0).依题意得A(1，0，0)，E(0，1，0)，B(1，2，0)，B1(1，2，h)，则＝(－1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，h)，所以·＝0，·＝0，则AE⊥EB，AE⊥BB1，又BE∩BB1＝B，EB，BB1⊂平面BEB1，所以AE⊥平面BEB1，又AE⊂平面AED1，则平面AED1⊥平面BEB1. (2)解：依题意得C1(0，2，h)，＝(1，1，h)，＝(0，2，h). 则|cos 〈，〉|＝＝＝cos 30°， 解得h＝2(负值舍去)， 故D1(0，0，2)，则＝(－1，0，2)，＝(1，1，2)， 设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝2，y＝2， 故m＝(2，2，1)为平面AED1的一个法向量， 则＝＝， 所以EB1与平面AED1所成角的正弦值为. 利用空间向量求线面角的解题步骤 　(2024·湖南常德一中模拟)如图，在三棱柱ADE­BCF中，平面ABCD⊥平面ABFE，四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是平行四边形，且AB＝4，BF＝2，BC＝2，以AB为直径的圆经过点F. (1)求证：平面ADF⊥平面BCF； (2)求直线DF与平面ABCD所成角的余弦值． (1)证明：因为以AB为直径的圆经过点F，所以AF⊥BF. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥AB， 因为平面ABCD⊥平面ABFE， 平面ABCD∩平面ABFE＝AB， AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面ABFE. 因为BF⊂平面ABFE，所以AD⊥BF， 又因为AF⊥BF，AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面ADF， 所以BF⊥平面ADF， 又因为BF⊂平面BCF，所以平面ADF⊥平面BCF. (2)解：因为AD⊥平面ABFE， 又因为AF⊂平面ABFE，AE⊂平面ABFE， 所以AD⊥AE，AD⊥AF， 又因为AE∥BF，AF⊥BF，所以AF⊥AE，则AD，AE，AF两两互相垂直，以点A为原点，AE为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝4，BF＝2，BC＝2，所以AD＝2， 所以在Rt△AFB中，由勾股定理得AF＝＝＝2，则点A(0，0，0)，D(0，0，2)，F(0，2，0)，B(－2，2，0)， 则＝(0，2，－2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0). 设平面ABCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则由得， 不妨令y＝1，得，则m＝(，1，0)为平面ABCD的一个法向量， 设直线DF与平面ABCD所成角为θ， 则sin θ＝＝＝，所以cos θ＝＝， 所以直线DF与平面ABCD所成角的余弦值为. 考点三　二面角问题 [例2](2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P. (1)证明：方法一　依题意，得 所以B2C2∥A2D2. 方法二　以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)， 所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)， 所以＝，所以B2C2∥A2D2. (2)解：建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中方法二，设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)， 所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)， 设平面PA2C2的法向量为a＝(x1，y1，z1)， 所以则 令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)为平面PA2C2的一个法向量． 设平面A2C2D2的法向量为b＝(x2，y2，z2)， 由(1)方法二知，＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)， 所以则 令y2＝1，得b＝(1，1，2)为平面A2C2D2的一个法向量． 所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝ ＝， 整理得n2—4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3， 所以BP＝1或BP＝3， 所以B2P＝1. 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 　(2024·广东统考模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AD＝2CD＝2BC＝2，CD⊥BC，BC∥AD，E，F分别为AD，PC的中点． (1)证明：PE⊥CD； (2)若BF与CD所成的角为60°，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值． (1)证明：在△PAD中，PA＝PD，E为AD的中点， ∴PE⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD， ∴PE⊥CD. (2)解：如图，连接EC，由条件知BC∥ED，BC＝ED，CD⊥BC， 所以四边形BCDE为矩形， 又PE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PE⊥BC， 又BC⊥BE，BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PBE， 所以BC⊥平面PBE，PB⊂平面PBE， 所以BC⊥PB，又BF与CD所成的角为60°，CD∥BE， 从而∠FBE＝60°，在Rt△PEC中，EF＝PC， 同理在Rt△PBC中，BF＝PC， ∴EF＝BF， ∴△BEF为等边三角形，即EF＝BE＝CD＝1， ∴在Rt△PEC中，PC＝2，EC＝，得PE＝， 由题知，EA，EB，EP两两垂直， 以E为原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，B(0，1，0)，F(－，，)， ∴＝(0，1，0)，＝(－，，). 设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得m＝(，0，1)为平面BEF的一个法向量， 易知平面ABE的一个法向量为n＝(0，0，1)， 则cos 〈m，n〉＝＝， ∴平面BEF和平面ABE夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$