第7章 第7节 利用空间向量证明平行与垂直问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第七节　利用空间向量证明平行与垂直问题 课标解读 1.理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 2．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理． [对应学生用书P161] 1.直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量 (1)若l是空间一条直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量． (2)设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　×　　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．(　　×　　) (3)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(　　×　　) (4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　　×　　) 2．(人教A版选择性必修第一册1.4例1改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，－1) B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) 答案：D 3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3 B．6 C．－9 D．9 答案：C　解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，解得z＝－9. 4．若直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l与α斜交 D．l⊂α或l∥α 答案：B　解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α.故选B. 5．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是________． 答案：平行　解析：因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.又l1与l2不重合，所以l1∥l2. [对应学生用书P162] 考点一　利用空间向量证明平行问题 [例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD. 证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°. 因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4， 所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M(，0，)， 所以＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝(，0，). 设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量， 由得 取y＝2，得x＝－，z＝1， 所以n＝(－，2，1)是平面PAD的一个法向量． 因为n·＝－×＋2×0＋1×＝0， 所以n⊥. 又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD. 利用空间向量证明线面、面面平行的方法 (1)证明线面平行的常用方法： ①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面． ②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明面面平行常用的方法： ①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． ②证明两个平面的法向量平行． ③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量． 　如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．试用向量方法证明：平面EFG∥平面PBC. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 因为＝(0，1，0)，＝(0，2，0)， 所以＝2，所以BC∥EF. 又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面PBC. 考点二　利用空间向量证明垂直问题 [例2] 如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)， 所以＝(0，3，4)，＝(－8，0，0). 所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以⊥，即AP⊥BC. (2)由(1)知||＝5，又||＝3，且点M在线段AP上， 所以＝＝(0，，). 又＝(－4，－5，0)， 所以＝＋＝(－4，－，)， 则·＝(0，3，4)·(－4，－，)＝0， 所以⊥，即AP⊥BM. 由(1)知AP⊥BC，BM∩BC＝B，BC，BM⊂平面BMC，所以AP⊥平面BMC， 于是AM⊥平面BMC. 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC. 利用空间向量证明线面、面面垂直的方法 (1)证明线面垂直的常见思路： ①将线面垂直的判定定理用向量表示． ②证明直线的方向向量与平面的法向量共线． (2)证明面面垂直的常见思路： ①利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量． ②证明两平面的法向量互相垂直． 　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE. 证明：由题知AB，AD，AP两两垂直，则以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1). (1)因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形． 所以C(，，0)，E(，，). 设D(0，y，0)，由AC⊥CD，得·＝0， 即y＝，则D(0，，0)，所以＝(－，，0). 又＝(，，)， 所以·＝－×＋×＝0， 所以⊥，即AE⊥CD. (2)方法一　由(1)知，D(0，，0)，P(0，0，1)， 所以＝(0，，－1). 又·＝×＋×(－1)＝0， 所以⊥，即PD⊥AE. 因为＝(1，0，0)，所以·＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)知，＝(1，0，0)，＝(，，)， 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则令y＝2，则z＝－， 所以n＝(0，2，－)为平面ABE的一个法向量． 因为＝(0，，－1)，显然＝n. 因为∥n，所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 考点三　利用空间向量解决与平行、垂直有关的综合问题 [例3] 在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由． (1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，P(0，0，a)，F(，，). ＝(－，0，)，＝(0，a，0). ∵·＝0，∴⊥，从而得EF⊥CD. (2)解：假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，则＝(x－，－，z－)， 若使GF⊥平面PCB，则由·＝(x－，－，z－)·(a，0，0)＝a(x－)＝0，得x＝； 由·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，得z＝0， ∴G点坐标为(，0，0)， 故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点． 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 (1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 　如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． (1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD，连接SO. 由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设底面边长为a，则高SO＝a， 所以S(0，0，a)，D(－a，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，＝(－a，0，－a)， 则·＝0. 故OC⊥SD.所以AC⊥SD. (2)解：棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC， 此时SE∶EC＝2∶1. 理由如下： 由已知条件知是平面PAC的一个法向量， 且＝(a，0，a)，＝(0，－a，a)， ＝(－a，a，0). 设＝t(0＜t≤1)，则＝＋＝＋t＝(－a，a(1－t)，at)， 又·＝0，所以a×(－a)＋a×at＝0， 所以t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥. 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $$