第7章 第6节 空间向量及其运算（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第六节　空间向量及其运算 课标解读 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． [对应学生用书P157] 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 共线向量定理 对空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 4.空间向量运算的坐标运算及其应用 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 1．判断正误 (1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　√　　) (2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面．(　　×　　) (3)已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.(　　×　　) 2．(人教A版选择性必修第一册1.2练习1改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 答案：C 3．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 答案：D 4．已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简＋(＋)＝________. 答案： 5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为________. 答案：a2 6．(人教A版选择性必修第一册1.1例2改编)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，AA1两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，|AA1|＝3，则|AC1|＝________. 答案：5 [对应学生用书P158] 考点一　空间向量的线性运算(自主完成) 1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则等于(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c. 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)设E是棱DD1上的点，且＝DD1，用a，b，c表示. 解：(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c， 所以＝＝(＋)＝a＋b， 所以＝＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c. (2)因为＝，所以＝＋＋＝ －－＋(＋)＝－c－b＋(a＋b)＝a－b－c. 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 考点二　空间向量基本定理及其应用 [例1] 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由题知＋＋＝3， 所以－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， 所以，，三个向量共面． (2)方法一　由(1)知，，，共面且基线过同一点M，则M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 方法二　因为＝(＋＋)＝＋＋，且＋＋＝1， 所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内． 证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥). 　如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1). (1)用向量和表示向量； (2)向量是否与向量，AA1共面？ 解：(1)∵＝＋＝＋k(－)＝ (1－k)＋k，＝k＝k＋k， ∴＝－＝(1－k)＋k－k－k＝(1－k)－k． (2)∵＝(1－k)－k， ∴向量与向量，共面． 考点三　空间向量的数量积及其应用 [例2] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. (1)解：设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝＝ ＝ ＝， ∴线段AC1的长为. (2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则 ∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝ a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， |A1D|＝＝＝ ＝， ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：∵＝c，＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，∴AA1⊥BD. 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 　如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长度； (2)求AC与BD1夹角的余弦值． 解：(1)设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 则a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝ 1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， 则||＝，即AC1的长度为. (2)∵＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴AC与BD1夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$