第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第五节　直线、平面垂直的判定与性质 课标解读 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题． [对应学生用书P151] 1.直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：[0，]． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]． 5．判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 1．判断正误 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　×　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　×　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　×　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　×　　) 2．(多选)(人教A版必修第二册P161T2改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 答案：BD 3．(人教A版必修第二册P158T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：D 与垂直有关的结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． [对应学生用书P153] 考点一　与线、面垂直有关命题的真假判定(自主完成) 1．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β B．若l∥α，α⊥β⇒l⊂β C．α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β D．若l∥α，α⊥β⇒l⊥β C　解析：对A，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，故A项不正确；对BD，l∥α，α⊥β则可能有l∥β，故B，D项不正确；对C，α⊥γ，β∥γ则必有α⊥β，故C项正确． 2．已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是(　　) A．α⊥β，m⊂β B．α∥β，n⊥β C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m B　解析：α⊥β，m⊂β，不能说明n与α的关系，A错误；α∥β，n⊥β能够推出n⊥α，B正确；α⊥β，n∥β可以得到n与平面α平行、相交或在平面α内，所以C不正确；m∥α，n⊥m则n与平面α可能平行，也可能相交，所以D不正确． 3．已知直线m，n，平面α，β，满足α∩β＝n且α⊥β，则“m⊥β”是“m⊥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：因为α∩β＝n，所以n⊂β，又因为m⊥β，所以m⊥n，即“m⊥β”是“m⊥n”的充分条件； 如图，在长方体中，设面ABCD为面α、面BCEF为面β，则m⊥n，且m与面β不垂直，即“m⊥β”不是“m⊥n”的必要条件；所以“m⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件． 4．(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β. 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系，要做到作图快、准，甚至无需作图，通过空间想象来判断； (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确； (3)反复验证所有可能的情况，必要时运用判定定理或性质定理进行简单说明． 考点二　直线、平面垂直的判定与性质 考法1　直线与平面垂直的判定与性质 [例1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，B1B的中点，求证：CF⊥平面EAB. 证明：E，F分别是棱B1C1，B1B的中点， 在Rt△BB1E和Rt△CBF中，BB1＝BC，B1E＝BF， 所以Rt△BB1E≌Rt△CBF， 所以∠B1BE＝∠BCF， 因为∠B1BE＋∠EBC＝90°，所以∠BCF＋∠EBC＝90°， 设CF∩BE＝O， 所以∠BOC＝90°，即CF⊥BE， 又因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，CF⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥CF，AB，BE⊂平面EAB，AB∩BE＝B， 所以CF⊥平面EAB. 判定线面垂直的四种方法 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC.求证：PA⊥CD. 证明：因为AB为圆O的直径，C为圆O上一点，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°. 设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2. 由余弦定理，得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 又PD∩AB＝D，PD，AB⊂平面PAB，所以CD⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD. 考法2　平面与平面垂直的判定与性质 [例2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC. (2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. 面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β) 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，AB，PA⊂平面PAB，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. 考点三　垂直关系的综合 [例3] (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). (1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN， ∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8， ∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN. 又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD， 平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC， ∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD， ∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形， ∴EF∥MN. 又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)解：如图，分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD. 由(1)知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4 cm，EM∥FN∥GQ∥HP. 易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN， 又PM＝QN＝MN＝PQ＝BD＝4 cm，所以四边形PMNQ是正方形，所以四棱柱PMNQ­HEFG为正四棱柱， 所以V四棱柱PMNQ­HEFG＝(4)2×4＝128(cm3). 因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM. 因为EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EM⊥AC. 又EM，PM⊂平面PMEH，且EM∩PM＝M，所以AC⊥平面PMEH， 则点A到平面PMEH的距离d＝AC＝2 cm， 所以V四棱锥A­PMEH＝S四边形PMEH×d＝×4×4×2＝(cm3)， 所以该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ­HEFG＋4V四棱锥A­PMEH＝128＋4×＝(cm3). 有关立体几何综合问题的解题方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直的性质及判定的综合应用． 　多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，AB＝，EF＝FA＝1. (1)求证：平面BEF⊥平面DEF； (2)求该多面体的体积． (1)证明：如图，连接BD，设AC与BD交于点O，连接FO，EO. 因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，AF⊥AC，AF⊂平面ACEF， 所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以BD＝AC＝AB＝2. 在直角梯形ACEF中，EF∥AC，O为AC的中点， 则AO＝EF＝1，且AO∥EF. 又因为AF＝EF，AF⊥AC， 所以四边形AFEO是边长为1的正方形， 所以AF∥EO，且EO＝AF＝1， 所以EO⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD， 所以EO⊥BD，则DE＝BE＝＝， 所以BE2＋DE2＝BD2，所以BE⊥DE. 因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD， 所以DF＝＝， 所以EF2＋DE2＝DF2，所以DE⊥EF. 又因为BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， 所以DE⊥平面BEF. 又因为DE⊂平面DEF，所以平面BEF⊥平面DEF. (2)解：由(1)可知，BD⊥OE，BD⊥AC，OE∩AC＝O， OE，AC⊂平面ACEF， 则BD⊥平面ACEF， 多面体ABCDEF可以视为四棱锥B­ACEF和四棱锥D­ACEF的组合体， 故其体积为S梯形ACEF·BD＝××2＝1. 微点突破16　动态问题 [对应学生用书P155] 立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题，因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍；但又因其是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养，以下利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析，探求解决此类问题的若干途径． 拓展1　“动态”中研究“特定静态”——“一题多考” [例1] (多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有(　　) A．线段PQ长度的最小值为2 B．满足PQ＝2的情况只有4种 C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直 D．三棱锥P­ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关 ABD　解析：对于A，当P、Q分别为线段B1D1、AC的中点时，PQ是异面直线B1D1、AC的公垂线，此时线段PQ长度最小为2，故A正确；对于B，PQ＝2，只能是面对角线，此时PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四种，故B正确；对于C，当P与B1重合，Q与C重合时，此时直线PQ(即B1C)与平面BC1D1垂直，故PQ⊥BD1，故C错误；对于D，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面△QBA的面积随着点Q的移动而变化，∴三棱锥P­ABQ的体积只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D正确． 本题通过点P，Q的“动”考查了最值、垂直、体积等问题，实现了一题多考，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征和垂直的判定定理及性质定理，需具备较强的直观想象能力． 拓展2　“动态”中研究“以静制动”——“最值问题” [例2] 已知在如图所示的正三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC的长为，底面△ABC的边长为2，D为AC的中点，E为AB的中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN的最小值为(　　) A． B． C． D． B　解析：将正三棱锥P­ABC放入棱长为的正方体AGIJ­PCHB中，如图1所示，先固定点M，那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离．连接GH，设GH的中点为F，连接PF，DG. 由题意得，平面PGF⊥平面PCE，且交线为PF，故MN⊥PF，所以M在PD上运动时，N在PF上运动．把平面AGP和平面PGF沿PG展开，示意图如图2所示，作AN′⊥PF交PG于点M′，则AN′即所求，(AM＋MN)min＝AN′＝AP·sin (45°＋30°)＝. 对于立体几何中的双动点问题，可先固定一个动点，如本题先固定点M，那么MN的最小值就是点M到平面PCE的距离，进而求得AM＋MN的最小值．这类题通常需要利用展开图，数形结合，达到化动为静，以静制动的目的，从而求解． 拓展3　“动态”中研究“变量”——“翻折问题” [例3] (多选)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD(如图2)，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　) A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90° C．CA′与平面A′BD所成的角为30° D．四面体A′­BCD的体积为 BD　解析：取BD的中点O，连接A′O，OC(图略)，因为A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以A′O⊥平面BCD，因为CD⊥BD，所以OC不垂直于BD，若A′C⊥BD，与以上矛盾，A错误；由A′B＝A′D＝1，BD＝，得BA′⊥DA′.因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由DA′∩CD＝D，DA′，CD⊂平面A′CD，得BA′⊥平面A′CD.所以BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°，B正确；∠CA′D为直线CA′与A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；由题意知AB＝AD＝CD＝1，VA′­BCD＝VC­A′BD＝×1××1×1＝，D正确． 解决翻折问题，要分析翻折前后的“变量”与“不变量”，在翻折前要标注重要的点或重要的量，分析其在翻折后的变化情况．具体到本例，应重视垂直关系“BA′⊥DA′，CD⊥BD”，才能顺利地由平面A′BD⊥平面BCD得出CD⊥平面A′BD，CD⊥BA′，再得到BA′⊥平面A′CD，从而解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$