第7章 第4节 空间直线、平面平行的判定与性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四节　空间直线、平面平行的判定与性质 课标解读 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． [对应学生用书P146] 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒a∥b 应用线面平行判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可． 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行(简记为“面面平行”⇒“线线平行”) ⇒a∥b 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件： (1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P； (2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 1．判断正误 (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　×　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　×　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　×　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　×　　) 2．(人教A版必修第二册P143T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 答案：D 3．(人教A版必修第二册P142T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是________．(填序号) ①存在一条直线a，a∥α，a∥β； ②存在一条直线a，a⊂α，a∥β； ③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α. 答案：④ 1．面面平行判定定理的一个推论 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 2．与平行有关的结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． [对应学生用书P147] 考点一　与线、面平行有关命题的真假判定(自主完成) 1．(2024·江苏盐城模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 B　解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA. 2．(2024·江苏徐州开学考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β C　解析：由题意，作长方体ABCD­A1B1C1D1，如图所示， 对于A，当平面α为平面ABCD，m＝A1B1，n＝B1C1时，显然m∥α，n∥α，但m∩n＝B1，故A错误；对于B，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1ADD1，m＝B1C1时，显然m∥α，m∥β，但α∩β＝AD，故B错误；对于C，因为m∥α，所以∃a⊂α，m∥a，因为m∥n，所以a∥n，因为a⊂α，n⊄α，所以n∥α，故C正确；对于D，当平面α为平面ABCD，平面β为平面A1B1C1D1，m＝B1C1时，显然m∥α，α∥β，但m⊂β，故D错误． 3．(2024·湖北武汉模拟)已知不重合的平面α，β及不重合的直线m，n，则(　　) A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β D．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n B　解析：对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，当n∥α时，若n⊥β，则α⊥β，当n⊂α时，若n⊥β，则α⊥β也成立，故B正确；对于C，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α∩β，反例如下图所示，可以说明符合条件时，两个平面有相交的可能，故C错误； 对于D，如下图所示，m，n可能异面，故D错误． 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． (1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 考点二　直线、平面平行的判定与性质 考法1　直线与平面平行的判定与性质 [例1] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点， 又M是PC的中点，所以AP∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， 所以PA∥平面BMD. 又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH. 线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝，E是A1C1边的中点，过A，B，E作截面交B1C1于点D.求证：DE∥AB. 证明：在直三棱柱ABC­A1B1C1中， 因为AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1， 所以AB∥平面A1B1C1. 又AB⊂平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE＝DE，所以DE∥AB. 考法2　平面与平面平行的判定与性质 [例2] 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，过M作MH⊥AB于点H. 求证：(1)平面MNH∥平面BCE； (2)MN∥平面BCE. 证明：(1)在正方形ABCD中，MH⊥AB，BC⊥AB， 则MH∥BC， 又MH⊄平面BCE，BC⊂平面BCE， 因此MH∥平面BCE， 由MH∥BC，得＝，而AM＝FN，AC＝FB， 则有MC＝NB， 即＝＝，于是得NH∥AF∥BE， 又NH⊄平面BCE，BE⊂平面BCE， 则NH∥平面BCE， 因为MH∩NH＝H，MH，NH⊂平面MNH， 所以平面MNH∥平面BCE. (2)由(1)知，平面MNH∥平面BCE， 而MN⊂平面MNH，所以MN∥平面BCE. 1．判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理． (2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2．面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行． 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 　如图，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥平面β. 证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD. ∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD. 又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β. ②当AB与CD异面时，如图所示， 设平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC， ∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC， ∴AC∥HD，∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH. ∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH， ∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H， EG，GF⊂平面EFG，BH，HD⊂平面β， ∴平面EFG∥平面β. 又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β. 综上可知，EF∥平面β. 考点三　平行关系的综合 [例3] 如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB， 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB，可得＝＝. 与(1)同理可得CD∥FG，即＝，则＝＝＝1－，则FG＝6－x， 故四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x. 又∵0<x<4，∴8<l<12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 三种平行关系的转化 对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． (1)证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接D1M， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM，所以＝＝， 又因为＝＝，所以＝＝， 所以PQ∥MD1. 又因为MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)解：当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA. 如图，证明如下： 因为＝，即＝，故＝. 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，PQ∥平面A1D1DA， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 学科网（北京）股份有限公司 $$