第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 课标解读 1.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． [对应学生用书P143] 1.基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 基本事实1的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 基本事实1及推论是判断或证明点、线共面的依据，基本事实2是判断一条直线是否在某个平面内的依据，基本事实3是证明三线共点或三点共线的依据． 2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 共面直线 ①相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 (1)两条异面直线不能确定一个平面；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线． (2)基本事实4和定理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 (0，] 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 1．判断正误 (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　×　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　√　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　×　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　×　　) 2．(多选)(人教A版必修第二册P128T2改编)下列命题是假命题的是(　　) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：BCD 3．(人教A版必修第二册P131T1改编)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 答案：D 4．直线l与平面α不平行，则(　　) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 答案：C 5．(多选)(人教A版必修第二册P132T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　　) A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C．EF∥CD D．EF与AB是异面直线 ABC　解析：把展开图还原成正方体，如图所示，还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知选项A，B，C正确，EF与AB相交，故D错误． 6．(人教A版必修第二册P132T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分． 答案：8　4 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． [对应学生用书P144] 考点一　平面的基本性质(自主完成) 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) D　解析：选项A，B，C中四点一定共面，选项D中四点不共面． 2．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. 3．(多选)(2024·吉林大学附中模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A.A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 ABC　解析：∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1.又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面．∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面． 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 考点二　空间两条直线的位置关系 1．已知a，b，c为三条不重合的直线，给出下列结论： ①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立． 2．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 CD　解析：因为直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A，B错误；因为点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线，C，D正确． 3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 D　解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取AD为l1，AA1为l2，A1B1为l3，当取B1C1为l4时，l1∥l4；当取BB1为l4时，l1⊥l4；当取A1D为l4时，l1与l4既不垂直也不平行．故l1与l4的位置关系不确定． 空间两直线位置关系的判定方法 考点三　异面直线所成的角 [例] (1)(2024·江苏扬州模拟)已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝CC1＝3，则异面直线AD1与BD所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2024·安徽芜湖模拟)在正四面体A­BCD中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)B　解析：(1)如图，连接DC1，BC1，根据长方体的性质可知 AD1∥BC1，所以∠DBC1是异面直线AD1与BD所成角(或其补角)，在三角形BDC1中，BD＝DC1，BC1＝3，由余弦定理得cos ∠DBC1＝＝. (2)如图，取AE的中点M，连接MF，MD，则MF∥EC，∠MFD为两条异面直线CE与DF所成的角(或其补角)，设正四面体A­BCD的边长为2，则MF＝， DF＝，DM＝＝， 所以cos ∠MFD＝＝＝，所以两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为. 用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 1．(2024·广东统考学业考试)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱AA1垂直于底面ABC)中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：如图，取B1C1的中点E，连接DE，BE，则DE∥A1C1∥AC，故∠BDE或其补角为所求异面直线BD与AC所成的角． 因为BD＝BE＝，DE＝，所以△DEB为等边三角形，所以∠BDE＝60°. 2．(2024·福建莆田模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，连接AD，BC，AC，SC. 因为O为AB，CD的中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC(或其补角)为异面直线SA与BD所成的角．设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝，所以cos ∠SAC＝＝，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$