第7章 第2节 与球有关的切、接问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二节　与球有关的切、接问题 [对应学生用书P141] 与球有关的切接问题，是历年高考命题的热点，也是学生的难点、易失分点．其中外接球是指一个多面体的几个顶点都在球面上的问题，解题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径；内切球是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决，特别是如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作．总之，解决与球有关的切、接问题关键在于求球体的半径，明确球心的位置． 考点一　几何体的外接球问题 考法1　由球的定义确定球心 [例1] 若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________． 答案：　解析：如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中点O即为外接球的球心． 由题意得，在Rt△OAH中，AH＝，OH＝，则外接球的半径R＝OA＝＝，表面积S＝4πR2＝. 1．由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处． 2．常见结论 (1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； (2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； (4)正棱锥(圆锥)的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． 1．(2023·江苏南京二模)在直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则AC长为(　　) A． B．1 C． D． D　解析：如图，设AC＝m，因为AB＝2，所以BC＝＝，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，所以4πR2＝，解得R＝，设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，所以4－m2＋(m－)2＝，解得m＝. 2．(2024·湖南岳阳开学考试)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π A　解析：设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π. 考法2　构造长方体或正方体确定球心 [例2] (2024·河北高三学业考试)已知三棱锥S­ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝6，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为(　　) A．144π B．72π C．100π D．64π A　解析：根据题意，可在长方体中找到满足题意的三棱锥，如图所示， 故该长方体的外接球与三棱锥S­ABC的外接球相同，又长方体的长、宽、高可以为3，3，6，则外接球半径R＝＝6.故其表面积S＝4π×R2＝144π. 补形求心的常用模型 (1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； (2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； (3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体； (4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 1．(2024·陕西汉中模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA1＝2，则三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的表面积为(　　) A．32π B．16π C．12π D．8π D　解析：把三棱柱放入长方体中，如图所示，则长方体的外接球即是三棱柱的外接球，∵AB＝1，BC＝，AA1＝2，∴长方体的外接球半径R＝＝，∴三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半径为，表面积为S＝4πR2＝4π()2＝8π. 2．已知三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为(　　) A．12π B．16π C．20π D．24π C　解析：将三棱锥还原成直三棱柱，D，D′为上、下底面的外心，O为DD′的中点，AD为底面外接圆的半径，则三棱柱的外接球即为球O，由余弦定理得BC＝＝2，由正弦定理得2AD＝＝4， 由OD＝1，AD＝2，得AO＝，即球O的半径r＝， 则球O的表面积为S＝4πr2＝20π. 考法3　由球的性质确定球心 [例3] 正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________. 答案：　解析：如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正三角形BCD的中心．因为BC＝CD＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝.又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝. 本题运用公式R2＝r2＋d2(r为三棱锥底面外接圆的半径，R为三棱锥外接球的半径，d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究． 1．已知在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝6，BC＝4，∠BDC＝30°，三棱锥A­BCD的顶点都在球O上，则球O的表面积是(　　) A．25π B．50π C．100π D． C　解析：由题意，BC＝4，∠BDC＝30°，由正弦定理得△BCD的外接圆半径r＝4，设球的半径为R，球心为O，则OC2＝R2＝r2＋(AB)2＝25，所以此三棱锥的外接球O的表面积S＝4πR2＝100π. 2．如图所示，在三棱锥S­ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A­BC­S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A． B． C． D．3π A　解析：如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD， ∵由题意得AD⊥BC， SD⊥BC， ∴∠ADS是二面角A­BC­S的平面角， ∴∠ADS＝.由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径R＝OA.由题意知BD＝，AD＝，DE＝AD＝，AE＝AD＝，连接OD. ∵在Rt△ODE中，∠ODE＝，OE＝DE＝，∴OA2＝OE2＋AE2＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝. 考点二　与球有关的相切问题 [例4] (2024·江苏扬州期末)已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图为该几何图形的轴截面， 由切线长定理可知：DE＝DF，CH＝CF，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，球的半径为R0，则有ED＝r，HC＝R，EH＝2R0，过点D作BC的垂线，垂足为G，则有CG＝R－r，可得l＝CD＝DF＋CF＝r＋R＝1＋3＝4，∵在Rt△DGC中，DG2＝(2R0)2＝CD2－CG2＝(R＋r)2－(R－r)2，∴R＝Rr＝3，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为＝＝＝. 1．简单多面体内切球问题 (1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系； (2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等). 2．关于内切球的常见结论 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． 　(2024·江苏金陵中学模拟)已知△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝3，现以BC为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　　) A．27π B． C． D． D　解析：如图所示， 旋转体的轴截面为边长为3的菱形，O为内切球的球心，因为AB＝AC＝3，BC＝3，所以cos ∠BAC＝＝＝－，因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝120°，所以∠ABC＝∠ACB＝30°，所以内切球的半径r＝AC·sin 30°·cos 30°＝，故S＝4π×()2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$