第4章 第4节 第1课时 三角函数的定义域、值域及单调性（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四节　三角函数的图象与性质 课标解读 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质，理解正切函数在(－，)上的性质． [对应学生用书P88] 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都单调递增 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z) 对称中心是(，0)(k∈Z) (1)写单调区间时，不要忘记k∈Z. (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期都是，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期是. (3)y＝sin x与y＝cos x的对称轴经过函数图象的最高(低)点，三角函数图象的对称中心不一定在函数图象上，如y＝tan x． (4)正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的． (5)①y＝tan x无单调递减区间；②y＝tan x在整个定义域内不单调． 1．判断正误 (1)余弦函数y＝cos x的图象的对称轴是y轴．(　　×　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　×　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　×　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　√　　) (5)若sin x＞，则x＞.(　　×　　) 2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．函数y＝sin (x＋)的单调递增区间为________________. 答案：[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 4．若函数y＝cos (x＋φ)为奇函数，则最小的正数φ＝________． 答案：　解析：因为函数y＝cos (x＋φ)为奇函数，所以只需φ＝＋kπ，k∈Z，又φ＞0，即＋kπ＞0，k∈Z，所以k＝0时，φ的最小值为. 5．(人教A版必修第一册P201例2改编)已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________． 答案：2 6．(人教A版必修第一册P207T5改编)函数y＝3sin (2x＋)，x∈[0，]的值域为________． 答案：[，3] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 第一课时　三角函数的定义域、值域及单调性 [对应学生用书P89] 考点一　三角函数的定义域(自主完成) 1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) B．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) C．(＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) D．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) D　解析：要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). 2．函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域是____________________________． 答案：[2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z　解析：要使函数y＝lg (2sin x－1)＋有意义，则即解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.即函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z. 3．函数y＝的定义域为____________． 答案： 解析：要使函数y有意义，则有 即 故函数y的定义域为. 求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解． 考点二　三角函数角的最值(值域) [例1] (1)(2023·河北学业考试)y＝cos (x－)在[0，]上的值域为(　　) A．[－，] B．[，] C．[，1] D．[，1] (2)(2023·海南中学模拟)函数y＝cos 2x＋2sin (x－)的最小值是(　　) A．－3 B．－1 C．－ D．3 (3)若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案：(1)C　(2)C　(3)(答案不唯一) 解析：(1)∵0≤x≤，∴－≤x－≤，∴≤cos (x－)≤1，即≤y≤1，故函数的值域为[，1].故选C. (2)由题意，函数y＝cos 2x＋2sin (x－)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cosx－1，令t＝cos x∈[－1，1]，可得y＝2t2－2t－1＝2(t－)2－，当t＝，即cos x＝时，函数y取得最小值，最小值为－.故选C. (3)∵f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，∴cos x＝1，解得x＝2kπ，k∈Z，且sin (x＋φ)＝sin (2kπ＋φ)＝sin φ＝1，∴φ＝＋2nπ，n∈Z，∴可取φ＝. 求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 1．(2023·河北高三学业考试)函数y＝sin x＋cos x，x∈R的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 D　解析：∵y＝sin x＋cos x＝2sin (x＋)，当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x＋cos x取得最大值2.故选D. 2．已知函数f(x)＝sin2x－sinx cos x，x∈R，则f(x)的最大值为(　　) A． B．1 C． D．－ A　解析：f(x)＝sin2x－sinx cos x＝(1－cos 2x)－sin 2x＝－sin (2x＋)＋，当sin (2x＋)＝－1时，f(x)max＝－(－1)＋＝，故选A. 3．已知函数f(x)＝sin (x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________． 答案：[，π]　解析：由x∈[－，a]，知x＋∈[－，a＋]. ∵x＋∈[－，]时，f(x)的值域是[－，1]，∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π. 考点三　三角函数的单调性 考法1　求三角函数的单调区间 [例2] (2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在(－，－)上单调递减 B.f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(0，)上单调递减 D．f(x)在(，)上单调递增 C　解析：依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A选项，因为x∈(－，－)，所以2x∈(－π，－)，函数f(x)＝cos 2x在(－，－)上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈(－，)，所以2x∈(－，)，函数f(x)＝cos 2x在(－，)上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈(0，)，所以2x∈(0，)，函数f(x)＝cos 2x在(0，)上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈(，)，所以2x∈(，)，函数f(x)＝cos 2x在(，)上不单调，所以D选项不正确．故选C. 已知三角函数解析式求单调区间的方法 代换法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间 考法2　已知三角函数的单调性求参数问题 [例3] (1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω等于(　　) A． B． C．2 D．3 (2)(2023·河北联考二模)已知ω>0，函数f(x)＝3sin (ωx＋)－2在区间[，π]上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，2] C．[，] D．[，] (1)B　(2)D　解析：(1)因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，f(x)＝sin ωx是增函数；当≤ωx≤，即≤x≤时，f(x)＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减知＝，所以ω＝. (2)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，即函数的单调递减区间为[＋，＋]，k∈Z.令k＝0，则函数f(x)的一个单调递减区间为[，]，若函数f(x)在区间[，π]内单调递减，则满足得所以ω的取值范围是[，].故选D. 由单调区间求参数范围的方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 1．(2024·山东青岛期末)在下列区间中，函数f(x)＝5sin (－x)的单调递增区间是(　　) A．(0，) B．(，) C．(，π) D．(，2π) C　解析：f(x)＝5sin (－x)＝－5sin (x－)，令＋2kπ<x－<＋2kπ(k∈Z)，可得＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)，令k＝0可得<x<，因为(，π)⊆(，)，故选项C正确；选项A，B，D都不符合题意．故选C. 2．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π A　解析：f(x)＝cos x－sin x＝－sin (x－).当x∈[－，]，即x－∈[－，]时，y＝sin (x－)单调递增，则f(x)＝－sin (x－)单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]⊆[－，]，所以0<a≤.所以a的最大值是. 3．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)，若函数f(x)在区间(π，)上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] B　解析：因为π<x<，所以ωπ－<ωx－<－，由正弦函数的单调性可得k∈Z，即k∈Z，令k＝0，解得≤ω≤，故选B. 4．若函数y＝tan (ωx＋)在[－，]上单调递减，且在[－，]上的最大值为，则ω＝________. 答案：－　解析：因为函数y＝tan (ωx＋)在[－，]上单调递减，所以ω<0，≥，则－≤ω<0，又因为函数在[－，]上的最大值为，所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，即ω＝－－3k，k∈Z，所以ω＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$