第2章 微点突破5 分段函数的嵌套问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

微点突破5　分段函数的嵌套问题 [对应学生用书P50] 对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [例1] 已知函数f(x)＝函数y＝f(f(x))的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：令f(x)＝t，当f(t)＝0时，解得t＝或t＝－1.在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f(x)与y＝－1有1个交点，y＝f(x)与y＝有2个交点，则y＝f(f(x))的零点个数为3. [训练1] 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________. 答案：5　解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个． [例2] 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)则g(f(1))＝________； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)－2　(2)[1，)　解析：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图， 由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是[1，). [训练2] 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 答案：[－1，＋∞)　解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图). 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$