第2章 视野拓展2 函数奇偶性、周期性的两个拓展性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

视野拓展2　函数奇偶性、周期性的两个拓展性质 [对应学生用书P27] 1．奇偶性的拓展性质及应用 (1)若函数f(x＋a)是偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数f(x＋a)是奇函数，可得函数f(x)的图象关于点(a，0)对称． [训练1] 已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)图象的中心对称点为(　　) A．(1，0) B．(－1，0) C．(，0) D．(－，0) C　解析：因为f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于(，0)成中心对称． 2．函数双对称的周期结论 (1)若函数y＝f(x)的两条对称轴方程分别是x＝a，x＝b，则函数的一个周期为T＝2|a－b|. (2)若函数y＝f(x)的两个对称中心分别是(a，0)，(b，0)，则函数的一个周期为T＝2|a－b|. (3)若函数y＝f(x)的一条对称轴方程是x＝a，一个对称中心是(b，0)，则函数的一个周期为T＝4|a－b|. [训练2] (多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数 ABC　解析：因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1，0)和(2，0)中心对称，所以f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k，0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以f(x＋3)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函数，故选ABC. [训练3] (2024·江苏苏州模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 A　解析：∵f(x＋1)为偶函数，∴其图象关于直线x＝0对称，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又y＝f(x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数f(x)是以4为周期的函数，∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$