第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第九节　函数模型及其应用 课标解读 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． [对应学生用书P50] 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 2.三种函数模型的性质 性质 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 答案：B 2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48.从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 答案：D 3．(人教A版必修第一册P96T3改编)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按3元/m3收费；用水超过10 m3的，超过的部分按5元/m3收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水________m3. 答案：15 4．(人教A版必修第一册P161T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为______.(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95) 答案：0.25 对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．当x＞0，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. [对应学生用书P51] 考点一　利用已知函数模型解决实际问题 1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区流感累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制流感的传播，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　) A．60 B．65 C．66 D．69 B　解析：由已知可得＝0.95K，解得＝，两边取对数有－0.23(t*－52)＝－ln 19≈－3，解得t*≈65. 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案：2 500　解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝(40Q－Q2)－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元). 3．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2023年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为________元． 答案：11.5　解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5. 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 考点二　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 1．(2024·北京五中阶段练习)图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是(　　) D　解析：对于A，当x＝0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误；对于C，当x＝0时，y值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；对于D，当x＝0时，虚线y值变大，说明成本减小，又因为虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，D正确． 2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) D　解析：依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． 考点三　构建函数模型解决实际问题 考法1　构建指数、对数函数解决实际问题 [例1] 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤________次才能使产品达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案：8　解析：设n(n∈N*)为过滤次数，由题意可知，·()n≤，即()n≤，则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥≈7.4，故至少要过滤8次才能使产品达到市场要求． 考法2　构建分段函数解决实际问题 [例2] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的关系近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)据进一步测定：当每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间． 解：(1)由图象可得，当0≤t＜1时，y＝kt；当t≥1时，y＝()t－a. 分别将点M(1，4)的坐标代入，得4＝k×1，4＝()1－a，解得k＝4，a＝3. 故y＝f(t)＝ (2)由题意知f(t)≥0.25， 则当0≤t＜1时，4t≥0.25，解得≤t＜1；当t≥1时，()t－3≥0.25，解得1≤t≤5. 综上所述，≤t≤5. 即服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(h). 考法3　构建y＝ax＋(a>0，b>0)函数解决实际问题 [例3] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．若该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． 解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40，因此C(x)＝(0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f(x)＝＋6x＝＋6x＋10－10≥2－10＝2×40－10＝70， 当且仅当6x＋10＝40，即x＝5时取等号．故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，为70万元． 在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)解模：求解函数模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 1．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是(　　) A．56 dm2 B．65 dm2 C．120 dm2 D．88 dm2 A　解析：设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意得： y＝(x＋4)(＋2)－72＝8＋2(x＋)≥8＋2×2＝56，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立． 2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为(　　) A．1 500元 B．1 550元 C．1 750元 D．1 800元 A　解析：设此人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，由题设可知y＝因为y＝50>25，所以x>1 300，所以0.1×(x－1 300)＋25＝50，解得x＝1 550，故此人购物实际所付金额为1 550－50＝1 500(元)，故选A. 3．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y(单位：万个)表示此变异毒株的数量，得到如下观测数据： x(T) 1 2 3 4 5 6 … y(万个) … 10 … 50 … 250 … 若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y＝px2＋q(p>0)与y＝kax(k>0，a>1)可供选择． (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：≈2.236，≈2.449，lg 2≈0.301，lg 6≈0.778) 解：(1)若选y＝px2＋q(p>0)，将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入可得，解得 故y＝x2－，将x＝6代入y＝x2－＝≠250； 若选y＝kax(k>0，a>1)，将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入可得，解得 故y＝2()x，将x＝6代入y＝2()x可得，y＝250； 综上，选择函数y＝kax(k>0，a>1)更合适，解析式为y＝2()x. (2)设至少需要x个单位时间，则2()x≥10 000， 即()x≥5 000，两边同时取对数可得，x lg ≥lg 5＋3，则x≥2＋＝2＋≈10.58， ∵x∈N*，∴x的最小值为11，故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 学科网（北京）股份有限公司 $$