第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第八节　函数与方程 课标解读 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．了解函数零点存在定理及用二分法求方程近似解具有一般性． [对应学生用书P47] 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无 零点个数 2 1 0 1．判断正误 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　×　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　×　　) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　×　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　√　　) (5)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　×　　) 2．(人教A版必修第一册P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　) 答案：C 3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞) 答案：B 4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 5．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________. 答案：－，，1，2 1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上只有一个零点． 2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． [对应学生用书P48] 考点一　对零点存在定理的理解 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 D　解析：因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解． 2．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法错误的有(　　) A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 ABD　解析：取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)·f(2)>0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A选项错误，C选项正确；取f(x)＝sin x，区间取为[，]，满足f()f()＝×(－)＝－<0，但是f(x)在[，]内存在三个零点π，2π，3π，B选项错误；根据函数零点存在定理可知，D选项错误． 对函数零点存在定理的理解 存在性 当函数y＝f(x)满足定理的条件时，函数在区间(a，b)内至少存在一个零点 唯一性 在满足定理的条件下，若函数f(x)在区间(a，b)上又是单调函数，则该函数在区间(a，b)内只有一个零点 不可 逆性 若函数f(x)在区间(a，b)有零点，不一定有f(x)的图象是一条连续不断的曲线，也不一定有f(a)f(b)<0成立 考点二　函数零点所在区间的判定 [例1] (1)(2024·河南模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 (1)C　(2)D　解析：(1)方法一：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上，故选C. 方法二：(数形结合)　函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内． (2)当x∈(，e)时，函数f(x)的图象连续不断，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在(，e)上单调递减．又f()＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内． 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．(2024·重庆南开中学模拟)已知函数f(x)＝ln (x＋1)＋x2－6，则下列区间中含f(x)零点的是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) C　解析：由题意知f(0)＝ln 1－6＝－6<0，f(1)＝ln 2－5＝ln <0，f(2)＝ln 3－2＝ln <0，f(3)＝ln 4＋3>0，f(4)＝ln 5＋10>0.由零点存在定理可知f(x)在区间(2，3)一定有零点． 2．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈[a－1，a]，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：f(x)为增函数，已知f(1)＝2＋－5<0，f(2)＝4＋－5<0，f(3)＝8＋－5>0，所以f(2)·f(3)<0，可知函数零点所在区间为[2，3]，故a＝3. 考点三　函数零点个数问题 考法1　函数零点个数的判定 [例2] 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象交点个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．又x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，∴作出函数f(x)与y＝lg |x|的图象如图所示． ∵x＝±10时，y＝lg |±10|＝1，∴由图数形结合可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象交点个数为8. 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 考法2　由函数零点个数求参数问题 [例3] (2024·湖北宜都模拟)已知f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________. 答案： (－2，0)∪{2}　解析：g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)＝k有两个根，即函数y＝f(x)与y＝k有两个交点，如图所示，显然，当k＝2或－2<k<0时，函数y＝f(x)的图象与y＝k的图象有两个交点，符合题意． 利用函数零点个数求参数的方法 由函数零点个数求参数问题，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解． 考法3　由函数零点存在情况求参数范围 [例4] (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．[2，) D．[2，) (2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) (1)D　(2)C　解析：(1)由题意知方程ax＝x2＋1在(，3)上有解，即a＝x＋在(，3)上有解，设t＝x＋，x∈(，3)，则t∈[2，).即a∈[2，). (2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示． 若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞).故选C. 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解． 1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f()·f(2)<0，所以当x>0时函数f(x)有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．因此函数f(x)一共有3个零点． 2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) C　解析：由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1，2)内，所以即解得0<a<3. 3．(多选)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 ABC　解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，只需两函数图象有两个交点即可． 由图可知当m＝－1，0，1时，两函数图象均有两个交点，故选ABC. 4．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 D　解析：函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x两函数图象交点的横坐标之和，可以转化为方程ln |x－2|＝4x－x2的根之和；y＝ln |x－2|和y＝4x－x2均关于x＝2对称，且两个图象有2个交点，两个交点横坐标之和为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$