第2章 第7节 函数图象及其应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第七节　函数图象及其应用 课标解读 1.会画一些函数的图象，理解图象的作用． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数与不等式解的问题． [对应学生用书P43] 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体步骤如下． (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数图象 平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)＋h的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)－h的图象 对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)的反函数的图象 y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象 (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系；(2)“上加下减”只针对函数值f(x). 1．判断正误 (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　×　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　×　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　×　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　√　　) 2．(人教A版必修第一册P68例5改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案：C 3．某人去上班，先跑步，后步行．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是(　　) 答案：D 4．将函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________． 答案：log2(x－1)－1 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 答案： (0，＋∞)　解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a＞0. 6．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位长度后，得到的函数图象的解析式为________. 答案：f(x)＝(2x＋3)2 关于函数图象对称性的三个结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．(3)若对函数y＝f(x)的定义域内任意的自变量x都满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． [对应学生用书P44] 考点一　作函数的图象 [例1] 作出下列函数的图象： (1)y＝()|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)先作出y＝()x的图象，保留y＝()x图象中x≥0的部分，再作出y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)因为y＝且函数为偶函数， 先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③. 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数． (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 考点二　函数图象的识别 考法1　给定函数解析式辨别函数图象 [例2] (2024·黑龙江哈尔滨九中模拟)函数y＝sin x·ln 的图象可能是(　　) D　解析：因为y＝f(x)＝sin x·ln 定义域为{x|x≠0}，对于A，B项，f(－x)＝sin (－x)·ln ＝－sin x·ln ＝－f(x)，所以y＝sin x·ln 为奇函数，函数图象关于原点对称，故A，B项错误；对于C项，x∈(0，π)时，sin x>0，＝1＋>1，所以ln >0，所以y＝sin x·ln >0，故C项错误；对于D项，符合函数图象关于原点对称，也符合x∈(0，π)时，y＝sin x·ln >0，故D项正确． 考法2　给定函数图象判断解析式 [例3] (2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ D　解析：方法一　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f(x)＞0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意． 方法二　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f(x)＝＞0恒成立，不符合题意，故排除C；分析知，选项D符合题意． 有关函数图象识别问题的解题思路 (1)关注函数的定义域，判断图象的左右位置； (2)关注函数的值域，判断图象的上下位置； (3)关注函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)关注函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)关注函数图象中的特殊点，排除不合要求的图象． 1．(2024·广西桂林模拟)函数y＝(2x－2－x)sin x在区间[－π，π]的图象大致为(　　) B　解析：f(x)＝(2x－2－x)sin x，f(－x)＝(2－x－2x)·sin (－x)＝(2x－2－x)sin x＝f(x)，故f(x)为偶函数，故排除A，C项，当x＝时，y＝2－2－>0，故排除D项． 2．(2024·陕西咸阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　) B　解析：由题知，f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，因为f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A，C，因为f(2)＝<f(3)＝，排除D.故选B. 3．已知函数f(x)的图象如图所示，其对应的函数可能是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ B　解析：由图象得，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故排除选项A和D.当0＜x＜1时，f(x)＞0，但在选项C中，当0＜x＜1时，x2＜1，所以f(x)＜0，故排除选项C.若f(x)＝，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞1时，f(x)＝单调递减；当0＜x＜1时，f(x)＝单调递增，与题中图象相符，故选B. 考点三　函数图象的应用 考法1　利用函数图象研究函数性质 [例4] 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) C　解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 利用图象研究函数性质问题的思路 考法2　利用函数图象解不等式 [例5] 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] D　解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 1．(2024·福建福州模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为(　　) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) C　解析：作出函数f(x)的图象如图所示． 当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3).所以x∈(－1，0)∪(1，3). 2．(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]内单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 ABD　解析：由题意函数min{a，b}＝为取小函数．根据f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象如图所示． 由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确．函数图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B正确．函数在(－∞，－1]内单调递增，在[－1，0]内单调递减，在[0，1]内单调递增，在[1，＋∞)内单调递减，所以C错误，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$