第2章 第6节 第3课时 对数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三课时　对数函数 课标解读 1.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 2．知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． [对应学生用书P39] 1.对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2．对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论． (2)对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 3．反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换它们的图象关于直线y＝x对称． 1．判断正误 (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　×　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(，－1)，函数图象只在第一、四象限．(　　√　　) 2．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 答案：BC 3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 4．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案：A 5．函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________. 答案：(，＋∞) 6．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 答案：2或 1．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)为奇函数． 2．函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)为奇函数． [对应学生用书P40] 考点一　对数函数的图象及应用 考法1　对数型函数图象的辨析(自主完成) 1.(2024·湖南师大附中阶段练习)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) A　解析：函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝logax＋1，即函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数且过点(1，1). 2．在同一个坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg 的图象可能是(　　) A　解析：由题意a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg 单调递减，故排除B，D；由函数f(x)＝的图象可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg a<0，故A正确，C错误． 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况． 考法2　对数函数图象的应用 [例1] (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)(2024·黑龙江哈尔滨十三中模拟)已知函数f(x)＝|ln x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) (1)A　(2)C　解析：(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1. (2)由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|.根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b，0<a<1<b，所以＝b. 令g(b)＝a＋4b＝4b＋，根据对勾函数的图象与性质易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5. 故a＋4b>5. 与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题． 1．(2023·湖南长郡中学模拟)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) B　解析：当a>1时，显然不成立．若0<a<1时， 当x＝时，4＝2，此时对数loga＝2，解得a＝，根据对数的图象和性质可知，要使4x<logax在0<x≤时恒成立，则有<a<1. 2．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为[，m]，值域为[0，1]，则m的取值范围为________． 答案：[1，2]　解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)，可知f()＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2. 考点二　对数函数性质及应用 考法1　比较大小问题 [例2] (1)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c (2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b (1)D　(2)C　解析：(1)a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1，因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. (2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1. 比较对数值的大小的主要方法是利用对数函数的单调性．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 考法2　解对数不等式问题 [例3] (1)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________． (2)不等式log(＋1)－log(－1)<－的解集是________． 答案：(1)(，)　(2)(1，17＋12) 解析：(1)原不等式可转化为① 或② 解不等式组①得<x<，不等式组②无解， 所以实数x的取值范围是(，). (2)因为log(＋1)－log(－1)<－可化为log()<－(x>1)，即>，解得1<<3＋2，所以x∈(1，17＋12)，即原不等式的解集为(1，17＋12). 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考法3　对数函数性质的综合问题 [例4] 若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－4，4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4，4) D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4，4). 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数的范围是(0，1)，还是(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 1．(2024·江苏南通模拟)已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln 6，则(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b A　解析：c＝ln 6<2，a＝log0.20.02＝log550>2，b＝log660>2，a＝1＋log510＝1＋，b＝1＋log610＝1＋，易知0<lg 5<lg 6，所以>，即a>b，所以c<b<a. 2．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f()<f()，则f(2x－1)>0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：方法一　因为函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f()<f()，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0，即2x－1>1，所以x>1. 方法二　由f()<f()知loga＜loga，所以loga2－1<loga3－1，所以loga2<loga3，所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1. 3．(多选)若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增 C．f(x)没有最大值 D．f(x)没有最小值 ABC　解析：对于A项，f(x＋2)＝lg (|x|＋1)， ∵lg (|－x|＋1)＝lg (|x|＋1)，∴f(x＋2)为偶函数，A项正确；对于B项，∵当x≥0时，f(x＋2)＝lg (x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递增； ∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度后得到f(x)的图象，∴f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，B项正确；对于C，D项，根据f(x)的单调性，知f(x)min＝f(2)，无最大值，故C项正确，D项错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$