第2章 第6节 第2课时 指数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二课时　指数函数 课标解读 1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． [对应学生用书P36] 1.指数函数 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 减函数 增函数 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1，). 1．判断正误 (1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　√　　) (2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (3)函数y＝2－x在R上为减函数．(　　√　　) 2．已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．(－2，) B．(－1，) C．(1，2) D．(3，) 答案：D 3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 答案：B (1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. [对应学生用书P37] 考点一　指数型函数图象的辨析(自主完成) 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) A　解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D项．又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C项． 2．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) B　解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，又|f(x)|≥0，且y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B. 3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) C　解析：由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，排除A，B项，g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，排除D项． 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 考点二　指数函数图象的应用 [例1] (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝2b，则下列不等式可能成立的是(　　) A．0<a<b B．0<b<a C．a<b<0 D．b<a<0 (2)(多选)(2024·湖南师大附中阶段练习)若直线y＝与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　) A． B． C． D．3 (1)AD　(2)ABC　解析：(1)作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图， 当3a＝2b>1时，根据图象得0<a<b，故A选项正确；当3a＝2b<1时，根据图象得b<a<0，故D选项正确．故选AD. (2)y＝|ax－1|的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1和0<a<1两种情况分别作图．当a>1时，图象如图所示： 此时需要0<<1，即0<a<2，所以1<a<2； 当0<a<1时，图象如图所示： 此时需满足0<<1，0<a<1都符合条件； 综上可知，a的取值范围为0<a<1或1<a<2，所以a的取值不可以是D项．故选ABC. (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 1．已知f(x)＝|2x－1|，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)，则必有(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2 D　解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示， 因为a<b<c，且有f(a)>f(c)>f(b)，所以必有a<0，0<c<1，b的符号不确定，且|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1，即1<2a＋2c<2. 2．函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，－2]　解析：作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示． 由图可知，若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则将函数y＝|3x－2|的图象至少向下移动2个单位长度，则m≤－2. 考点三　指数函数性质及应用 考法1　与指数函数有关的函数单调性问题 [例2] 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D.(－∞，－2] B　解析：由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞). 与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用． 考法2　比较大小问题 [例3] (1)设a＝30.7，b＝()－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b (2)已知f(x)＝mx－m－x(m>0且m≠1)，a＝()－，b＝()，c＝log2，判断f(a)，f(b)，f(c)的大小． (1)D　解析：由题知c＝log0.70.8<1，b＝()－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以c<a<b. (2)解：∵a＝()－＝()>()＝b>0，c＝log2<0，所以a>b>c. ①当m>1时，f(x)是R上的增函数， ∴f(c)<f(b)<f(a)； ②当0<m<1时，f(x)是R上的减函数， ∴f(a)<f(b)<f(c). 比较幂值大小的方法 (1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 考法3　解指数方程或不等式问题 [例4] (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． (2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)　(2)(－3，1)　解析：(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为. (2)当a＜0时，f(a)＜1，即()a－7＜1，所以()a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；当a≥0时，f(a)＜1，即＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.综上可得，a的取值范围是(－3，1). 简单的指数方程或不等式的求解方法 解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 考法4　与指数函数有关的最值问题 [例5] (1)已知集合A＝{x|(2－x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 (2)若函数有最大值3，则a＝________． 答案：(1)D　(2)1　解析：(1)由题知集合A＝{x|－2<x<2}．又f(x)＝(2x)2－2×2x－3，设2x＝t，则<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，且函数g(t)的对称轴为直线t＝1，所以最小值为g(1)＝－4. (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围． 1．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c. 2．偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为__________． 答案：{x|x<0或x>4}　解析：∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝当f(x－2)＞0时， 有或 解得x＜0或x＞4. ∴不等式的解集为{x|x<0或x>4}． 3．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________. 答案：(－，＋∞)　解析：从已知不等式中分离出实数a，得a>－[()x＋()x]，因为函数y＝()x和y＝()x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，()x≥，()x≥，所以()x＋()x≥＋＝，从而得－[()x＋()x]≤－.故实数a的取值范围为(－，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$