第2章 第6节 第1课时 指数与对数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第六节　指数函数、对数函数 第一课时　指数与对数 课标解读 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． [对应学生用书P33] 一、指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝． 2．分数指数幂的意义 (1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！ 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 二、对数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) 2．(人教A版必修第一册P109T2)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 答案：D 3．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A．a B．a C．a D．a 答案：C 4．log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 答案：D 5．(人教A版必修第一册P127T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 6．计算：π0＋2－2×(2)＝________． 答案： 7．计算＋＝________． 答案：2 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：＝N(a>0，且a≠1，N>0). [对应学生用书P34] 考点一　指数幂的运算(自主完成) 1．(2024·河北高三学业考试)已知a>0，下列运算正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－2＝0 D．(a)2＝a D　解析：对选项A，aa＝a＋＝a，故A错误；对选项B，a÷a＝a1－＝a－，故B错误；对选项C，aa－2＝a－2＝a－，故C错误；对选项D，(a)2＝a2×＝a，故D正确． 2．若x＋x－＝3，则＝________． 答案：　解析：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，即x2＋x－2－2＝45，x＋x－＝(x)3＋(x－)3＝(x＋x－)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.综上，得＝. 3．化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3)； (3). 解：(1)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝ －a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝ －·＝－. (3)原式＝＝a－－－·b＋－＝. 指数幂的运算技巧 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二　对数式的化简与求值(自主完成) 1．(2024·广东高三统考学业考试)计算27×－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20 B．21 C．9 D．11 B　解析：原式＝(33)×2－log44－3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21. 2．(2024·河南商丘期末)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为2a＝3，所以a＝log23.因为b＝log85＝＝log25，所以a－3b＝log23－log25＝log2＝＝log4，故4a－3b＝＝. 3．(多选)(2024·广东汕头模拟)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ AD　解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)，则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，＝logM4，＝logM6，＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－，整理得，ab＋bc＝2ac，易知A，D正确，B，C错误． 4．计算下列各式： (1)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________. (2)＝________． (3)log5＋＋lg 200－lg 2＝________. 答案：(1)52　(2)1　(3)　解析：(1)原式＝lg (5×100)＋lg 8－lg 5－lg 26＋50＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝1. (3)原式＝log5＋3log36＋lg (102×2)－lg 2＝－＋6＋2＋lg 2－lg 2＝. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 考点三　指数、对数运算的实际应用 [例] (1)(2023·山西太原高三统考阶段练习)地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系如下：E＝104.8＋1.5M(焦耳)，那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的(参考数据：≈3.16)(　　) A．3.16倍 B．31.6倍 C．100倍 D．1 000倍 (2)(2023·广东统考模拟)质数也叫素数，17世纪法国数学家马林－梅森曾对“2p－1”(p是素数)型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“2p－1”(p是素数)形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127－1，第14个梅森素数为N＝2607－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．10140 B．10142 C．10143 D．10144 (1)D　(2)D　解析：(1)由题设4级地震释放的能量为E1，6级地震释放的能量为E2，则E1＝104.8＋1.5×4＝1010.8，E2＝104.8＋1.5×6＝1013.8，＝＝103＝1 000，即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1 000倍． (2)＝≈＝2480，令2480＝k，两边同时取常用对数得lg 2480＝lg k，∴lg k＝480×lg 2≈144.48，∴k≈10144.48，结合选项知与最接近的数为10144. 利用指数、对数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(参考数据：≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 C　解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，解得lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. 2．(2024·山东济南历城二中模拟)第31届中国国际信息通信展览会上明确，要持续增强移动通信、光通信等领域全产业链优势，前瞻布局下一代互联网前沿领域，全面推进6G技术研发．未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式C＝Wlog2(1＋)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的(参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32)(　　) A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍 B　解析：设提升前最大信息传递率为C1，提升后最大信息传递率为C2，则由题意可知，C1＝Wlog2(1＋11)＝Wlog212，C2＝Wlog2(1＋499)＝Wlog2500，所以＝＝＝＝＝≈＝≈2.5倍．所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$