第2章 第5节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第五节　二次函数与幂函数 课标解读 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．运用函数建立模型，解决简单的实际问题． [对应学生用书P30] 1.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝ 当x＝－时，ymax＝ (1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 1．判断正误 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　×　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　×　　) (3)函数y＝2x是幂函数．(　　×　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　×　　) 2．(人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 答案：D 3．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 4．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　) C　解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴x＝－<0，且过原点，所以ABD不正确． 5．已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________. 答案：[4，＋∞) 6．(忽视定义域)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________. 答案：(3，5) 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，自变量x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). [对应学生用书P31] 考点一　幂函数的图象与性质(自主完成) 1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 B　解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，满足题意，故n＝1. 2．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　) A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数 C．当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f() ACD　解析：由题意得4α＝2，解得α＝，即f(x)＝x＝，则函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C正确；由函数图象知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确．故选ACD. 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0. 4．(2024·山东潍坊模拟)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是____________． 答案：(－∞，－1)∪(，)　解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 幂函数图象与性质的应用 (1)借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点二　二次函数的解析式(自主完成) 1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x B　解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得解得所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 2．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________________． 答案：x2－2x＋3　解析：由f(0)＝3，得c＝3. ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴＝1，∴b＝2， ∴f(x)＝x2－2x＋3. 3．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________． 答案：x2＋2x　解析：方法一　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 方法二　由二次函数f(x)与x轴交于(0，0)，(－2，0)，知f(x)的图象关于直线x＝－1对称． 设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x. 求二次函数解析式的方法 考点三　二次函数的图象与性质 考法1　二次函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a－b＋c>0 D．abc<0 (2)(多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0 C．f(－2－m)＞0 D．f(－2－m)＜0 (1)AD　(2)AC　解析：(1)根据对称轴x＝－＝1得到b＝－2a，A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，C错误；函数图象开口向下，所以a<0，b＝－2a>0，当x＝0时，y＝c>0，故abc<0，D正确． (2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示． 由f(m)＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0＞－，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，f(－2－m)＝f(m＋1)＞0. 识别二次函数图象应学会“三看” 考法2　二次函数的性质及应用 [例2] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)求使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数的实数a的取值范围； (2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． 解：(1)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－＝－a，要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≤－6或a≥4.故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). (2)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝ 结合f(|x|)的图象(图略)易知f(|x|)的单调递减区间是[－4，－1)，(0，1)，单调递增区间是[－1，0]，[1，6]. 解决二次函数图象与性质问题的2个注意点 (1)抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解． 1．已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　) D　解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根，所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0).故选D. 2．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] B　解析：由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是单调递减，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$