第2章 第4节 函数性质的综合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四节　函数性质的综合 课标解读 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． [对应学生用书P28] 考点一　函数的单调性与奇偶性相结合 [例1] (1)(2023·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝()x－3x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 (2)(2023·河北邯郸阶段练习)定义在R上的偶函数f(x)满足：在x∈[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)<f(1)的x的取值范围是(　　) A.(－1，0) B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，1) (1)C　(2)B　解析：(1)函数f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝3x－()x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为函数y＝()x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f(x)＝()x－3x在R上是减函数． (2)因为f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以不等式f(2x－1)<f(1)可整理为|2x－1|>1，解得x<0或x>1. (1)偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反，有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同，最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． (2)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (3)抽象不等式问题，解题步骤为①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 1．已知函数f(x)＝lg (＋x)，则不等式f(2x)>f(x－2)的解集为(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) A　解析：对于函数f(x)＝lg (＋x)，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝lg (＋x)＋lg (－x)＝0，故f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg (＋x)单调递增，根据奇偶性可得f(x)在R上单调递增，故不等式f(2x)>f(x－2)的解集等价于2x>x－2的解集，即x>－2. 2．定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1＋m)＋f(m)<0，则实数m的取值范围为(　　) A．(－，＋∞) B．(－，2] C．(－，1] D．(－，] C　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(1＋m)＋f(m)<0等价于f(1＋m)<－f(m)＝f(－m).由题意，可得解得－＜m≤1. 考点二　函数的奇偶性与周期性的综合 [例2] (1)(2024·江苏扬州期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2023·福建三明模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (1)D　(2)A　解析：(1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f()＝f(－＋8)＝f(－)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－)＝－f()＝－[－()2]＝，所以f()＝. (2)由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. 函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解． 1．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 C　解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1).又f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0， ∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 2．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x－1)为奇函数 D．函数f(x－3)为偶函数 BC　解析：对于选项A，B，∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x).∵f(x)＋f(2－x)＝0， ∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确．对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1).在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故选项C正确．对于选项D，由C得，f(x－1)＝－f(－x－1)，将x换为x－2，得f(x－3)＝－f(1－x)，周期为4，f(x－3)＝－f(1－x)＝－f(－3－x)，f(x－3)为奇函数，故选项D错误． 考点三　函数的奇偶性、周期性与对称性 [例3] (1)(2023·山东潍坊三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，f(x＋4)＝f(－x)，则(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．f(3)＝0 C．f()＝－f() D．f(2 023)＝0 (2)(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)关于x＝3对称 D．f(100)＝9 (1)A　(2)ACD　解析：(1)因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．所以f(x＋2)＝f(－x)，又因为f(x＋4)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以由得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．由得f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，∵T＝6，∴f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B错误；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确． (1)解决函数奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心．也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心．总之，要充分利用条件进行适当转化． (2)函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 1．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且函数y＝f(x－1)为奇函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象关于点(2 023，0)对称 C．f(x)是R上的偶函数 D．f(x)是R上的奇函数 ABC　解析：对于A，由f(x＋2)＝－f(x)知f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故A正确；对于B，由y＝f(x－1)为奇函数得f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，0)对称，又因为f(x)的周期是4，2 023＝506×4－1，所以f(x)的图象关于点(2 023，0)对称，故B正确；对于C，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x＋2)＝－f(－x)，又f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以有f(x－2)＝－f(－x)，因此f(－x＋2)＝f(x－2)，即f(－x)＝f(x)，又f(x)的定义域为R，故f(x)是偶函数，故C正确，D错误． 2．(2024·湖南长沙阶段练习)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x－2)为偶函数，f(2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)关于直线x＝－1对称 C．函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D．f(2 023)＝1 C　解析：∵f(3x－2)为偶函数，∴f(－3x－2)＝f(3x－2)，∴f(－x－2)＝f(x－2)，故f[－(－x－2)－2]＝f(－x－2－2)，即f(x)＝f(－x－4)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称．∵f(2x－1)为奇函数，∴f(－2x－1)＝－f(2x－1)，∴f(x－1)＝－f(－x－1)，所以函数的图象关于点(－1，0)对称，故B错误，C正确；由f(x)＝f(－x－4)及f(x－1)＝－f(－x－1)知，f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，∴f(x－4)＝－f(x－2)，∴f(x＋4－4)＝－f(x＋4－2)，即f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋2)＝－f(x＋4)，故f(x)＝f(x＋4)，∴函数f(x)的周期为4，A错误；f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝0，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$