第2章 第3节 函数奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三节　函数奇偶性与周期性 课标解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义． 2．结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义． [对应学生用书P25] 1.函数的奇偶性 (1)函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D 都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于坐标原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇偶函数的等价形式 若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　×　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 2．(多选)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：BC 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝________． 答案： 4．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________． 答案：－ 5．若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝______． 答案：－1　解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，可得f(3)－f(4)＝－1. 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________． 答案：1 1．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．关于周期函数的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). [对应学生用书P26] 考点一　函数的奇偶性 考法1　判断函数的奇偶性(自主完成) 1.以下函数图象中为奇函数的是(　　) A　解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A. 2．(2024·安徽芜湖模拟)下列函数中是奇函数的是(　　) A．y＝x3＋1 B．y＝ln |x| C．y＝sin (x＋) D．y＝ex－e－x D　解析：对于A，f(x)＝x3＋1，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，f(x)为偶函数；对于C，函数定义域为R，f(x)＝sin (x＋)＝cos x，f(x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，f(x)为奇函数． 3．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：∵f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数． 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断． (2)图象法，即利用奇、偶函数图象的对称性来判断． (3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 考法2　利用奇偶性求值(自主完成) 4.(2023·江西南昌模拟)若f(x)＝为奇函数，则g(－2)＝(　　) A．－8 B．－4 C．－2 D．0 A　解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4，又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8.故选A. 5．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 D　解析：当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 6．已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　解析：由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2. 7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 023)＋f(2 025)的值为________． 答案：0　解析：由题意得，g(－x)＝f(－x－1)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数， ∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， 即f(x－1)＋f(x＋1)＝0，∴f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024－1)＋f(2 024＋1)＝0. (1)求函数值的方法：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式的方法：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． 考法3　利用奇偶性求参数 [例1] (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B．0 C． D．1 B　解析：通解　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 优解　因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)·ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0. 利用奇偶性求参数的方法 (1)利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值． (2)对于选择、填空题，可以利用特值法验证求解． 1．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________． 答案：2　解析：通解(定义法)　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin (－x＋)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)，解得a＝2. 优解(特值法)　因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，即(－－1)2－a＝(－1)2＋a，解得a＝2. 2．若函数f(x)＝x(1－)为偶函数，则a＝________. 答案：1或－1　解析：由题意，令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x(1－)为偶函数，可得u(x)＝1－为奇函数，所以u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1. 考点二　函数的周期性及应用 [例2] (1)(2024·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 024)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－5 (2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________. 答案：(1)D　(2)　解析：(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－f(0＋2)＝－(22＋log22)＝－5. (2)由题易知函数f(x)的周期是4，则f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f()＝cos ＝. 函数周期性的判定与应用的解题策略 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x＋)＝f(x－)，则f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D　解析：当x>时，f(x＋)＝f(x－)，即函数周期为1，则由题意得f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 2．设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4，6]时，f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2，0)上的表达式为(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1 C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1 B　解析：当x∈[－2，0)时，－x∈(0，2]，－x＋4∈(4，6]，∵当x∈(4，6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1. ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x).∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝2－x＋4＋1.∴当x∈[－2，0)时，f(x)＝－2－x＋4－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$