第2章 第2节 函数单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二节　函数单调性与最值 课标解读 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数单调性与最值的作用和实际意义． [对应学生用书P21] 1.增函数与减函数 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 关于函数单调区间需注意： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有f(x)≤M；∃x0∈D，使得f(x0)＝M ∀x∈D，都有f(x)≥M；∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 1．判断正误 (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　×　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　×　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ D．y＝ex 答案：A 3．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)<f()的实数x的取值范围为(　　) A．(－∞，) B．[－1，) C．(－1，) D．(－1，1] B　解析：由题设得解得－1≤x<. 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________． 答案：2 5．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为____________. 答案：[－1，1]，[5，7] 6．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)　解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. (1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性． (2)当k>0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；当k<0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相反． (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性． (4)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． (5)复合函数y＝f(g(x))的单调性判断方法为同增异减． [对应学生用书P22] 考点一　确定函数的单调性(自主完成) 考法1　求具体函数的单调区间 [例1] (1)(2024·海南海口模拟)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) (2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) (1)B　(2)B　解析：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝则由二次函数的性质知，当x≥0时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0，y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)，故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2). (2)由题意，可得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，二次函数y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，且在(－∞，－1]∪[3，＋∞)上的单调递增区间为[3，＋∞)，根据复合函数的单调性，可知函数f(x)＝的单调递增区间是[3，＋∞). 考法2　判断或证明函数的单调性 [例2] (1)已知函数f(x)的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有>0成立，则函数f(x)一定是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 (2)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1，1)上的单调性． (1)C　解析：对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有>0成立，等价于对于任意两个不相等的实数x1<x2，总有f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)一定是增函数． (2)解：设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数f(x)在(－1，1)上单调递减． 确定函数单调性的常用方法 (1)定义法：先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． (2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出单调性． (3)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性． 1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0”的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln (x＋1) C　解析：由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B选项中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；C选项中，f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 2．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________． 答案： [0，1)　解析：由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1). 考点二　函数单调性的应用 考法1　利用函数单调性比较大小 [例3] 已知对f(x)在定义域R内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(3)，c＝f(5)，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c D　解析：由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0可得函数f(x)在R上是增函数，所以f(－)<f(3)<f(5)，即a<b<c. 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解． 考法2　利用函数单调性解不等式 [例4] 定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，2) B．[0，2) C．[0，1) D．[－1，1) C　解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a－2<a2－a≤2，解得0≤a<1. 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 考法3　利用函数单调性求函数最值 [例5] (1)函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 答案：(1)3　(2)1　解析：(1)由于y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. (2)方法一　在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示． 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 方法二　依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1. 函数最值和单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减(增)函数，则f(x)在[a，b]上的最大(小)值是f(a)，最小(大)值是f(b)； (2)求函数最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间则不一定有最大(小)值． 考法4　利用函数单调性求参数问题 [例6] 设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1，4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) D　解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (3)分段函数的单调性需要分段研究，明晰每一段函数的单调性，同时注意两段端点值的大小． 1．(2024·河北高三学业考试)已知函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，则a的取值范围是(　　) A.(0，1] B．(0，1) C．(0，2] D．[2，＋∞) A　解析：因为函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，所以解得0<a≤1，所以a的取值范围是(0，1]. 2．函数y＝3x＋的值域是________． 答案：[3，＋∞)　解析：由x－1≥0，得x≥1，因为y＝在[1，＋∞)上为增函数，y＝3x在[1，＋∞)上也是增函数，所以f(x)＝3x＋在[1，＋∞)上是增函数，则f(x)min＝3，所以函数f(x)＝3x＋的值域为[3，＋∞). 教考衔接2　复合函数的单调性 [对应学生用书P24] 函数单调性问题是每年高考必考内容，考题多源自教材例题或习题，主要考查函数单调性的判定或利用函数单调性求参数问题． (人教A版必修第一册P86习题3.2综合运用T7) 1．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝x2－2x(x∈[2，4])， (1)求f(x)，g(x)的单调区间； (2)…… (人教A版P120习题4.2拓广探索T10) 2．已知函数f(x)＝ax，g(x)＝()x(a＞0，且a≠1)， (1)讨论函数f(x)，g(x)的单调性；. (2)…… 教材以二次函数、指数函数为背景，考查函数的单调区间及判断函数的单调性．将函数解析式作适当变化，如将函数变为简单的复合函数，或将二次函数与指数函数进行简单复合得到复合函数，并根据复合函数“同增异减”的原则，求其单调区间或求参数，就可以将教材问题转化为高考试题． 拓展1　变条件 1.将指数函数f(x)＝ax变为f(x)＝e|x－a|(a为常数)并求其单调区间． 解：令u＝|x－a|，则y＝eu，由于y＝eu在定义域内单调递增，u＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝e|x－a|的单调递增区间是(a，＋∞)，单调递减区间是(－∞，a). 拓展2　变条件、变设问 2.已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) B　解析：因为函数y＝ex为增函数，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，由复合函数的单调性知，必有t＝|x－a|在区间[1，＋∞)上是增函数，又t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上是增函数，所以[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，故有a≤1. 拓展3　变条件、变设问 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) D　解析：通解(复合函数法)　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2. 光速解(特值法)　取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C. 学科网（北京）股份有限公司 $$