第2章 第1节 函数及其表示（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第一节　函数及其表示 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． [对应学生用书P18] 1.函数概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 f 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 值域是集合B的子集． 2．函数的表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 3.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 4．分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 处理分段函数问题时，需注意： (1)分段函数不是多个函数，而是一个函数，自变量与函数值在不同范围内有不同的对应关系． (2)解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围，然后选择与其相应的函数解析式． 1．判断正误 (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　×　　) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　×　　) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　×　　) 2．(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) 答案：BC 3．(人教A版必修第一册P66例3改编)下面函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝ B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案：B 4．(人教A版必修第一册P73T6改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)＝________． 答案：2x2－x 5．已知f()＝x－1，则f(x)＝________． 答案：x2－1(x≥0)　解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 6．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________. 答案：4 求函数的定义域时常用的结论 (1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0；(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)对于正切函数y＝tan x，要求x≠kπ＋，k∈Z. [对应学生用书P19] 考点一　函数的定义域(自主完成) 1．(2024·广东佛山高三统考学业考试)函数f(x)＝－(x－3)0的定义域是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞) C　解析：由解得x>2且x≠3.∴函数f(x)＝－(x－3)0的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 2．(2024·黑龙江哈尔滨九中开学考试)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A．[－5，5] B．[－，2] C．[－2，3] D．[，2] B　解析：函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，所以函数y＝f(2x－1)的定义域是[－，2]. 3．(2023·江苏镇江模拟)若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－4，4] D．[－8，8] C　解析：因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8].对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]. 1．求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考点二　求函数解析式 [例1] (1)(2024·河北石家庄模拟)已知f(x＋1)＝ln x，则f(x)＝(　　) A．ln (x＋1) B．ln (x－1) C．ln |x－1| D．ln (1－x) (2)已知f(x)是一次函数，且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． (1)B　解析：方法一(换元法)　因为f(x＋1)＝ln x，所以x>0，令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，所以f(t)＝ln (t－1)，因此，f(x)＝ln (x－1)(x>1). 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝ln x＝ln [(x＋1)－1]，所以f(t)＝ln (t－1)，即f(x)＝ln (x－1)(x>1). (2)解：待定系数法　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋5a＋b＝2x＋17， 则解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (3)解：方程组法　∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 1．已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________. 答案：x2＋2x＋1　解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，则2ax＋b＝2x＋2，解得a＝1，b＝2.因为f(x)＝0即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 2．若f(＋1)＝lg x，则f(x)＝____________． 答案：lg ，x∈(1，＋∞)　解析：换元法　令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg ，因为x>0，所以t>1，则f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x∈(1，＋∞). 3．已知f(x)满足f(x)－2f()＝2x，则f(x)＝________. 答案：－－　解析：由题知f(x)－2f()＝2x，　① 以代替①中的x，得f()－2f(x)＝，　② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，得f(x)＝－－. 考点三　分段函数 考法1　分段函数求值问题 [例2] (1)(2024·山东枣庄模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－2)]＝________. (2)(2023·广东揭阳二模)已知f(n)＝则f(8)＝________． 答案：(1)6　(2)7　解析：(1)函数f(x)＝f(－2)＝(－2)2＝4，f[f(－2)]＝f(4)＝4＋2＝6. (2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13)).因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7. 考法2　分段函数与方程、不等式问题 [例3] (1)(2024·吉林通化一中模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝的解集为(　　) A． B． C． D． (2)(2024·河北高三学业考试)已知f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是______________． 答案：(1)A　(2)(－3，1)∪(3，＋∞)　解析：(1)当x≥0时，f(x)＝x2＝，解得x＝或x＝－(舍去)；当x<0时，f(x)＝＝，解得x＝(舍去)，故解集为. (2)f(1)＝3，已知不等式f(x)＞f(1)，则f(x)＞3，如果x＜0，则x＋6＞3可得x＞－3，可得－3＜x＜0.如果x≥0，则x2－4x＋6＞3可得x＞3或0≤x＜1，综上，不等式f(x)＞f(1)的解集为(－3，1)∪(3，＋∞). 与分段函数有关问题及解题策略 (1)求分段函数的函数值，先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 1．(2023·河北保定高三期中)函数f(x)＝的最小值为________． 答案：2－7　解析：由题意可知x≤1时，f(x)＝x2－1≥－1，函数的最小值为－1；当x＞1时，f(x)＝x＋－7≥2－7＝2－7，当且仅当x＝时取等号，又2－7＜－1，所以函数f(x)＝的最小值为2－7. 2．(2023·长春吉大附中实验学校模拟)设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，2]　解析：根据题意当2∈(－∞，a)时，f(2)＝2，不满足题意，当2∈[a，＋∞)时，f(2)＝22＝4，满足条件，所以a≤2.故a的取值范围为(－∞，2]. 3．已知函数f(x)＝若f(f(－2))>f(t)，则实数t的取值范围是________. 答案：(－4，4)　解析：f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，得－4<t<0；当t≥0时，t2－2t<8，即(t－1)2<9，得0≤t<4.综上所述，t的取值范围是(－4，4). 学科网（北京）股份有限公司 $$