第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第六节　一元二次不等式恒(能)成立问题 [对应学生用书P16] 考点一　在R上恒成立问题 [例1] (1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4)∪{0} C．(－∞，－4] D．(－4，0) (2)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2) B．(－1，2] C．(－1，2) D．[－1，2] (1)A　(2)B　解析：(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，由题意可得解得a<－4. (2)当a＝2时，原不等式为－12<0满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，a的取值范围为(－1，2]. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 当所给不等式二次项含有参数时注意对参数是否为0进行讨论． 1．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　) A．{k|k＝±} B．{k|k<－} C．{k|－<k<} D．{k|k>－} C　解析：由题意Δ＝(－k)2－4×2×<0，整理可得，k2－3<0，解得－<k<. 2．已知关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为________． 答案：[0，4)　解析：当m＝0时，不等式1>0恒成立，所以m＝0符合题意； 当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则解得0<m<4. 综上所述，m的取值范围为[0，4). 考点二　在给定区间上的恒成立问题 [例2] 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] A　解析：方法一　令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3. 方法二　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种： (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题； (2)结合图象进行分类讨论，转为根的分布问题． 　若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－2，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] C　解析：∀x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0⇔m<x＋，而当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则m<2，所以m的取值范围是(－∞，2). 考点三　给定参数范围的恒成立问题 [例3] 若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围． 解：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1， 其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段， 则即 解得<x<， 故x的取值范围为(，). 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题． 已知a∈[－1，2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围． 解：设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则 即 解得x<0或x>3. 考点四　不等式能成立或有解问题 [例4] (2023·湖北武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围为____________. 答案：(2，＋∞)　解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1，因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可，设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值问题： (1)若a＞f(x)能成立，则a＞f(x)min； (2)若a≤f(x)能成立，则a≤f(x)max. 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则(　　) A．a≤2 B．a≥2 C．a≥ D．a≤ D　解析：∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1，2]上有解，即a≤(x＋)max，x∈[1，2]，∵函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递增，∴f(x)max＝，∴a≤ 学科网（北京）股份有限公司 $$