第1章 第5节 一元二次方程和一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第五节　一元二次方程和一元二次不等式 课标解读 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义． 2．结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数以及二次函数的零点与方程根的关系． 3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． [对应学生用书P14] 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形． 3．分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 1．判断正误 (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　√　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　×　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　√　　) (4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　×　　) 2．(2023·山东菏泽二模)已知全集U＝{x|x≥0}，集合A＝{x|x(x－2)≤0}，则∁UA＝(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) A　解析：集合A＝{x|x(x－2)≤0}＝[0，2]，而全集U＝[0，＋∞)，所以∁UA＝(2，＋∞). 3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为______. 答案：[，2]　解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)·(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为[，2]. 4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________． 答案：－14　解析：∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14. 5．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________． 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)　解析：由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16，解得a>4或a<－4. [对应学生用书P15] 考点一　不含参的一元二次不等式的解法(自主完成) 1．(2023·河北校联考三模)已知集合M＝{x|x2＋5x－6≤0，x∈Z}，N＝{y|y2＋5y＋4≤0}，则M∩N＝(　　) A．[－6，1] B．{－4，－3，－2，－1} C．[－4，－1] D．{－6，－4，－3，－2，－1，0，1} B　解析：由x2＋5x－6≤0得(x－1)(x＋6)≤0，所以－6≤x≤1，又x∈Z，所以M＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1}；由y2＋5y＋4≤0得(y＋4)·(y＋1)≤0，所以－4≤y≤－1，所以N＝[－4，－1]，所以M∩N＝{－4，－3，－2，－1}． 2．(2023·河北统考模拟)若集合M＝{x|x(3－x)>0}，N＝，则M∩N＝(　　) A．[－3，2] B．(0，3] C．[－3，2) D．(0，2] D　解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0<x<3，所以M＝{x|0<x<3}，又由≤0，可得解得－3<x≤2，所以N＝{x|－3<x≤2}，所以M∩N＝(0，2]. 3．不等式0<x2－x－2≤4的解集为____________. 答案：{x|－2≤x<－1或2<x≤3}　解析：原不等式等价于即即解得x∈[－2，－1)，(2，3].故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 4．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a的取值范围为________． 答案：　解析：∵原不等式可化为<0，即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0， ∴由题意得即a＝. 解一元二次不等式的4个步骤 考点二　含参一元二次不等式的解法 [例1] 解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． [变式] 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)·x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：不等式可化为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以a(x－)(x－1)<0. 当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，此不等式的解集为；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 解：①当m＝0时，－3<0恒成立； ②当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0， 即(x＋)(x－)<0，而－<， 此时不等式的解集为； ③当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0， 即(x＋)(x－)<0，而－>， 此时不等式的解集为. 综上，当m<0时，不等式的解集为；当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为. 考点三　三个“二次”之间的关系 [例2] (多选)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＋c>0 C．c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为 ABC　解析：根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知a<0，A正确；ax2＋bx＋c＝0的根为－1，3，则即∴a＋b＋c＝－4a>0，B正确；c＝－3a>0，C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴cx2－bx＋a<0的解集为，D错误． (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________. 答案：(2，3)　解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得 解得不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2，3). 2．已知函数f(x)＝，若f(x)>m的解集为(，6)，则m的值为________． 答案：2　解析：因为f(x)>m，所以>m，所以mx2－15x＋9m<0，因为其解集为(，6)，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为和6，所以＋6＝，解得m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$