第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第四节　基本不等式 课标解读 1.掌握基本不等式≤(a，b>0). 2．能用基本不等式解决简单的最值问题． [对应学生用书P10] 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 2．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值是S2．(简记：和定积最大) (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目，切记等号成立的条件要一致． 1．若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案：D 2．(人教A版必修第一册P46例3改编)矩形两相邻边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________． 答案： 3．已知x＞2，则x＋的最小值是________． 答案：4 4．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案：②　解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 常见的几个重要不等式 　(1)a2＋b2≥2ab； (2)a＋b≥2(a>0，b>0)； (3)ab≤()2(a，b∈R)； (4)()2≤(a，b∈R)； (5)＋≥2(a，b同号). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. [对应学生用书P11] 考点一　利用基本不等式求最值 考法1　拼凑法求最值 [例1] (2023·山西忻州模拟)已知a>2，则2a＋的最小值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 D　解析：因为a>2，所以a－2>0，所以2a＋＝2(a－2)＋＋4≥2＋4＝12，当且仅当2(a－2)＝，即a＝4时，等号成立．所以2a＋的最小值为12. 拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 考法2　利用常值代换法求最值 [例2] 已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．7 D．10 B　解析：将x＋y＝xy两边同时除以xy，得＋＝1，则x＋4y＝(x＋4y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝2y＝3时，等号成立，故x＋4y的最小值为9. 常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 考法3　消元法求最值 [例3] 已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________． 答案：9　解析：由ab－b＋1＝0可得a＝，由a＝>0，b>0，得b>1，所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9，当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时等号成立，故＋4b的最小值是9. 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 1．(2023·云南曲靖期末)函数f(x)＝(x>0)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：当x>0时，f(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故f(x)的最小值为3. 2．(2023·河北邯郸一模)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 C　解析：依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·(＋)＝[＋＋10]≥×(2×4＋10)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故＋的最小值为. 3．若正实数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由得解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故x＋2y的最小值为. 考点二　基本不等式的实际应用 [例4] 当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝历年总利润/运营年数). 解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元， 即二次函数开口向下，且顶点坐标为(6，110)， 可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0)， 又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10， 则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*). (2)由(1)得年平均总利润为＝－10(x＋)＋120≤－20＋120＝20， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立． 所以运营的年平均总利润的最大值为20万元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． 1．(2023·湖南常德一中模拟)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站(　　) A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km B　解析：设仓库到车站的距离为x，则由题意可得y1＝，y2＝k2x，即k1＝xy1，k2＝，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．当仓库建在离车站5 km处两项费用之和最小． 2．某化工企业2023年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元). (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． 解：(1)由题意得y＝， 即y＝x＋＋1.5(x∈N*). (2)由基本不等式得：y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立． 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 考点三　基本不等式的综合应用 [例5] (1)在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若＝2x＋y(x>0，y>0)，则＋的最小值为(　　) A．1 B．8 C．2 D．4 (2)(2023·湖南师大附中阶段练习)正实数x，y满足＋＝2，且不等式x＋≥m2－m恒成立，则实数m的取值范围为______________. 答案：(1)B　(2)[－1，2]　解析：(1)因为点F在线段BC上，所以2x＋y＝1.因为x＞0，y＞0，所以＋＝(＋)·(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为8. (2)因为不等式x＋≥m2－m恒成立，所以(x＋)min≥m2－m，因为x>0，y>0，且＋＝2，所以x＋＝(x＋)(＋)＝＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当＝，即x＝1，y＝4时等号成立，所以(x＋)min＝2，所以m2－m≤2，即(m＋1)(m－2)≤0，解得－1≤m≤2. 基本不等式与其他知识的交汇问题中，一般是利用其他知识得到利用基本不等式求最值的条件，如两个数的和为定值、两个数的积为定值等，然后根据此定值求其他代数式的最值． 1．设a>0，b>0，若4是2a与2b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．1 B．8 C．4 D． A　解析：因为4是2a与2b的等比中项，所以2a·2b＝42＝24，可得a＋b＝4，因为a>0，b>0，所以有＋＝(a＋b)·(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以＋的最小值为1. 2．(2023·吉林通化梅河口五中模拟)若直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则mn的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 B　解析：因为kx－y＋2k－1＝0，所以k(x＋2)－(y＋1)＝0，令解得即直线kx－y＋2k－1＝0恒过点A(－2，－1).又因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，则－2m－n＋2＝0，可得2m＋n＝2，且m>0，n>0，则2m＋n＝2≥2，即0<mn≤，当且仅当2m＝n＝1时等号成立，所以mn的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$