第1章 第3节 等式性质与不等式性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第三节　等式性质与不等式性质 课标解读 1．会比较两个数(式)的大小． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． [对应学生用书P8] 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)(－3)不成立． 1．判断正误 (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　×　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　×　　) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) 2．(人教A版必修第一册P42例2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．－＞0 B．－＜0 C．＞ D．＜ 答案：D 3．(乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3，1)，b∈(，)，则的取值范围是(　　) A．(－12，8) B．(－24，8) C．(－24，4) D．(－12，4) B　解析：当－3<a≤0时，∈(－24，0]；当0<a<1时，∈(0，8).综上可知∈(－24，8). 4．(人教A版必修第一册P38例1改编)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为____________. 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 5．(人教A版必修第一册P43T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－3b的取值范围是________． 答案：(7，12) 倒数性质：(1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. [对应学生用书P9] 考点一　比较两数(式)的大小(自主完成) 1．(2023·河南许昌期末)已知x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，则(　　) A．x<y B．x＝y C．x>y D．x与y的大小无法判断 A　解析：因为x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，所以x－y＝－a2＋a－1＝－(a－)2－<0，故x<y. 2．(2023·天津红桥一模)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(　　) A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n B　解析：当a>1时，易知a2＋1>2a，又以a为底的对数函数在定义域上单调递增，∴m>p，又∵(a2＋1)－(a－1)＝(a－)2＋，即a2＋1>a－1，因为以a为底的对数函数在定义域上单调递增，所以m>n，又∵当a>1时，2a显然大于a－1，同上，可知p>n.综上，m>p>n.故选B. 3．已知a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________. 答案：a<b　解析：＝＝()16·＝()16·()16＝()16.∵∈(0，1)，∴()16<1，∵1816>0，1618>0，∴1816<1618，即a<b. 比较两个数(式)大小的2种方法 考点二　利用不等式性质比较大小 [例1] (1)(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac (2)(2023·云南曲靖模拟)已知|m|>|n|>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．m>n B．|m|＋n>0 C．m＋n<0 D．< (3)(多选)(2023·湖南永州第一中学模拟)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A．()a<()b B．ln a<ln b C．a3<b3 D．sin a>sin b (1)BCD　(2)B　(3)BC　解析：(1)因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac，故选BCD. (2)对于A，若m＝－2，n＝1时，满足|m|>|n|>0，而不满足m>n，所以A错误．对于B，当n>0时，则|m|＋n>0一定成立，当n<0时，由|m|>|n|>0，得|m|>－n，则|m|＋n>0，所以B正确．对于C，若m＝2，n＝1时，满足|m|>|n|>0，而不满足m＋n<0，所以C错误．对于D，若m＝－2，n＝－1时，则满足|m|>|n|>0，而不满足<，所以D错误． (3)对于A，因为y＝()x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以()a>()b，所以A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确；对于D，因为0<a<b<1<，且函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin a<sin b，所以D错误． 判断不等式成立常用的3种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性．当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等的单调性进行判断． 1．若2m>2n，则下列结论一定成立的是(　　) A．> B．m|m|>n|n| C．ln (m－n)>0 D．πm－n<1 B　解析：由2m>2n，可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立． 2．(2024·辽宁葫芦岛一模)若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c<b＋c B．< C.ac>bc D．b－a>c A　解析：对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a＋c<b＋c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，若a＝－2，b＝－1，则a<b，>，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b，可得ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b，可得b－a>0，c>0，所以无法判断b－a与c的大小，D选项错误． 3．下列对不等关系的判断，正确的是(　　) A．若＜，则a3＞b3 B．若＞，则2a＜2b C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b| D．若tan a＞tan b，则a＞b C　解析：对于选项A，当a＝－1，b＝1时，满足＜，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足＞，但2a＞2b，B错误；对于选项C，由ln a2＞ln b2可得a2＞b2，则|a|＞|b|，可得2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，当a＝，b＝时，tan ＞tan ，但＜，D错误． 考点三　利用不等式性质求范围 [例2] (1)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． (2)设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是________． 答案：(1)(－3，3)　(2)32　解析：(1)∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3. (2)＝()3×，∵3≤≤4，∴27≤()3≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质得9≤()3·≤32，即的最大值为32，当且仅当即时取到． 求含有字母的数(或式)的取值范围时的2个注意点 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． 1．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－，) 　 C．(0，1) D．(－，1) D　解析：因为α∈(0，)，所以0<2α<1，又β∈[0，]，所以0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<1. 2．已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，1) D．(，2) B　解析：由题意，2<x<4，原式分子和分母同时除以x，得＝，由条件得2<－2y<6，所以<－<，即<－<3，所以<1－<4，所以<<. 学科网（北京）股份有限公司 $$