第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． [对应学生用书P5] 1.充分条件、必要条件与充要条件 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 1.在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围). 2．(1)A是B的充分不必要条件是指A⇒B且BA； (2)A的充分不必要条件是B是指B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ (2)全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，使p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　√　　) (3)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　) (4)“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　) 2．设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 3．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 4．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 答案：C 5．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 6．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，3) 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件． (2)若AB，则p(x)是q(x)的充分不必要条件，q(x)是p(x)的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p(x)是q(x)的充要条件． [对应学生用书P6] 考点一　充分、必要条件的判断 [例1] (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)已知p：()x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)B　(2)B　解析：(1)方法一　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝ba2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 方法二　因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． (2)由()x<1，知x>0.所以p对应的区间为(0，＋∞)，由log2x<0，知0<x<1，所以q对应的区间为(0，1)，显然(0，1)(0，＋∞)，故p是q的必要不充分条件． 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么． (2)集合法：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题． 1．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B　解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件． 2．(2023·江苏盐城中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2和圆C：(x－1)2＋y2＝1，则“k＝－”是“直线l与圆C相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：直线l与圆C相切等价于圆心C(1，0)到直线l的距离等于圆C的半径1，即＝1，解得k＝－，所以“k＝－”是“直线l与圆C相切”的充要条件． 3．(2023·山东济南高三开学考试)“x>y”的一个充分条件可以是(　　) A．2x－y> B．x2>y2 C．>1 D．xt2>yt2 D　解析：由x>y，即x－y>0，所以对选项A，2x－y>⇒2x－y>2－1⇒x－y>－1，所以x－y>－1不一定有x－y>0，故A不正确；对选项B，由x2>y2，则x2－y2>0，则(x＋y)·(x－y)>0，则或故B不正确；对选项C，>1整理得y(x－y)>0，则或故C不正确；对选项D，因为xt2>yt2，t2>0，所以x>y，成立，故D正确． 考点二　根据充分、必要条件求参数范围 [例2] (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax－1＝0(a≠0)的必要不充分条件，则实数a的值为(　　) A．－ B．－或 C．－ D．或－ (2)(2023·山东滨州模拟)若“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2) B．(1，2] C．[1，2] D．(1，2) (1)D　(2)C　解析：(1)p：x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，q：ax－1＝0(a≠0)，解得x＝，由题意知p是q的必要不充分条件，则＝2或＝－3，解得a＝或a＝－，故选D. (2)由(x－a)2<1，解得a－1<x<a＋1，∵1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，∴满足且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2. 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数．把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点值慎取舍．在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍． 1．若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，则A∩B≠∅的一个充要条件是(　　) A．a>－2 B．a≥－2 C．a>－1 D．a>1 C　解析：由x2－x－2<0，解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}，又B＝{x|－2<x<a}，故A∩B≠∅的等价条件为a>－1，即A∩B≠∅的一个充要条件是a>－1. 2．已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] B　解析：由＜1，得－1＝＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，由p是q的充分不必要条件知，k＞2. 考点三　全称量词与存在量词 考法1　含量词命题的否定及真假判断 [例3] (1)(2023·浙江温州模拟)命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　) A．∃x∈R，x≠1或x≠－1 B．∃x∈R，x≠1且x≠－1 C．∀x∈R，x≠1或x≠－1 D．∀x∈R，x≠1且x≠－1 (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若p：∃x＜0，＞x，则¬p：∀x＜0，≤x B．若p：∀x＞0，x2＜x，则¬p：∃x＞0，x2＞x C．∃x∈R，lg x＞1 D．∀x∈R，2x＞x2 (1)D　(2)AC　解析：(1)由特称命题的否定形式得：命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是∀x∈R，x≠1且x≠－1. (2)若p：∃x＜0，＞x，则¬p：∀x＜0，≤x，故A正确；若p：∀x＞0，x2＜x，则¬p：∃x＞0，x2≥x，故B错误；当x＞10时，lg x＞1，故C正确；当x＝2时，2x＝x2，故D错误． 1．含量词的命题的否定步骤 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 2．含量词的命题的真假判断的方法 要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 考法2　根据含有量词的命题真假求参数问题 [例4] (2023·重庆统考模拟)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋<a，若p为假命题，则a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，2] D　解析：依题意可知¬p：∀x∈(0，＋∞)，x＋≥a为真命题，由于x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，所以a≤2. 根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路 解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 1．(2023·广东深圳二模)命题“∀a∈N*，2a≥a2”的否定是(　　) A．∃a∈N*，2a≥a2 B．∃a∈N*，2a<a2 C．∀a∈N*，2a<a2 D．∀a∈N*，2a>a2 B　解析：“∀a∈N*，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“∃a∈N*，2a<a2”． 2．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝0 C．∀x∈R，3x>0 D．∀x∈R，x2>0 D　解析：∃x＝1，lg x＝0；∃x＝0，tan x＝0；∀x∈R，3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题． 3．(2023·山西吕梁三模)若命题“∃x∈R，a＝|x|＋1”为真命题，则实数a的取值范围为__________.(用区间表示) 答案：[1，＋∞)　解析：因为|x|＋1≥1，即函数y＝|x|＋1的值域为[1，＋∞)，所以实数a的取值范围为[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$