第1章 第1节 集合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

第一节　集　合 课标解读 1.了解集合的含义及表示，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的基本关系． 3．理解并掌握集合的基本运算． [对应学生用书P1] 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． (4)五个数集符号及其关系图： 正整数集：N*或N＋，自然数集：N，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R． 在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．记作∅. 3．集合的基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合基本运算的性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅． (2)A∪A＝A，A∪∅＝A． (3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A． (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 1．若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案：C 2．设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} B　解析：由题设可得A∩B＝{2，3}． 3．(忽视空集)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．0或±1 D　解析：由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0； 当N≠∅时，＝a，解得a＝±1.故a的值为±1，0. 4．(忽视集合运算中端点取舍)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________. 答案：[3，＋∞)　解析：由A∪B＝A，得B⊆A，如图所示，所以m≥3. 5．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝______，(∁RA)∩B＝______． 答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2<x<3或7≤x<10}　解析：把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 6．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝________． 答案：{1}　解析：由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}． 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 2．(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). [对应学生用书P2] 考点一　集合的基本概念(自主完成) 1．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　) A．－1∉A B．－11∉A C．3k2－1∈A D．－34∈A BCD　解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－∉Z，所以－11∉A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11∈Z，所以－34∈A，所以D正确． 2．(2023·福建宁德二模)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，则B＝(　　) A．{－1，0，2} B．{0，1，2} C．{－2，－1，0} D．{－2，－1，0，1，2} B　解析：因为A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，所以B＝{0，1，2}．故选B. 3．(2023·河北保定期中)已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，那么a的可能取值为(　　) A．－1 B．2 C． D．0 C　解析：若a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，当a＝1 时，A＝{x|2x＋1＝0}＝，符合题意．当a＝－1时，A＝{x|1＝0}＝∅，不符合题意．当a2－1≠0，即a≠±1时，要使集合A有且仅有一个元素，则需Δ＝(a＋1)2－4(a2－1)＝－3a2＋2a＋5＝0，解得a＝或a＝－1(舍去).综上所述，a的可能取值为1或，C选项符合．故选C. 4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 024＋b2 025＝________． 答案：2　解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝，所以a＋b＝0，a≠1，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝1＋1＝2. 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性． 考点二　集合间的基本关系 [例1] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________. 答案：(1)B　(2)(－∞，3]　解析：(1)依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1. (2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1， 此时m<2.②若B≠∅，则解得2≤m≤3. 由①②可得， 符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]. 集合间基本关系的应用及解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 1．(2023·广东广州一模)已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3<0}，则集合A的子集个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．16 C　解析：解不等式x2－2x－3<0，得－1<x<3，因此A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，所以集合A的子集个数为23＝8.故选C. 2．已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM B　解析：依题意知，M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.故选B. 3．(2023·浙江金华一中模拟)已知集合M满足{2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，那么这样的集合M的个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　解析：因为{2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，所以集合M可以为{2，3}，{1，2，3}，{2，3，4}，{2，3，5}，{1，2，3，5}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个，故选C. 考点三　集合的基本运算 考法1　集合的交、并、补运算 [例2] (1)设集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜1}，则(　　) A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ (1)B　(2)A　解析：(1)依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P. (2)M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A. 集合的基本运算的解题策略 (1)看元素组成．从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提． (2)对集合化简．先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． (3)数形结合思想的应用．常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图． 考法2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例3] (1)(2023·湖南长沙周南中学二模)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，且A∪B＝A，则a的取值集合为(　　) A．{－1} B．{2} C．{－1，2} D．{1，－1，2} (2)(2023·安徽黄山三模)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x<a2}，且(∁RA)∩B＝B，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1) D．(－∞，0] (1)B　(2)A　解析：(1)由题意可得：a＋2＝3或a＋2＝a2.若a＋2＝3，则a＝1，a2＝1，集合A中的元素有重复，不符合题意；若a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1，显然a＝2时符合题意，而a＝－1⇒a2＝1同上，集合A中的元素有重复，不符合题意．故a＝2.故选B. (2)因为A＝{x|x>a}，所以∁RA＝{x|x≤a}，又(∁RA)∩B＝B，所以B⊆∁RA，又B＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].故选A. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性). 1．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z C　解析：集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，所以T⊆S，则S∩T＝T.故选C. 2．(2023·河北邯郸二模)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{x|x2≤3x}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|－2<x<0} B．{x|0≤x<3} C．{x|x>3} D．{x|－2<x≤3} A　解析：A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，不等式x2≤3x的解集为{x|0≤x≤3}，所以B＝{x|x2≤3x}＝{x|0≤x≤3}，所以∁RB＝{x|x<0或x>3}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x<0}．故选A. 3．(2024·高考适应性测试)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 答案：5　解析：由A∩B＝A，故A⊆B，所以B≠∅，所以m≥0.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故即即m≥5，即m的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$