课后跟踪训练(57) 带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型（Word练习）-【优化指导】2025年高考物理一轮复习高中总复习·第1轮（人教多选版）

课后跟踪训练(57)　带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型 基础巩固练 1．(2024·上海浦东新区模拟)如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为(　　) A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ C　解析：画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹如图所示，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cos θ＝，则cos θ＝，θ＝60°，故t2＝，所以＝＝， C正确。 2．(2024·山东青岛模拟)如图所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1。直角边bc的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3 B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3 C．粒子的比荷＝ D．粒子的比荷＝ B　解析：由于粒子在磁场中运动时间之比为t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，即粒子在磁场中的偏转角之比为3∶3∶1，则作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知R2<R3，R1<R3＝2L，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m可知粒子速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3，A错误，B正确；粒子运动周期T＝＝，则t1＝T＝，解得＝，C错误；由qvB＝m及R3＝2L，解得粒子的比荷＝，D错误。 3．(多选)(2024·江苏徐州测试)如图所示，扇形区域AOB内存在有垂直平面向里的匀强磁场，OA和OB互相垂直是扇形的两条半径，一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开，若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场，则(　　) A．粒子带正电 B．C点越靠近B点，粒子偏转角度越大 C．C点越远离B点，粒子运动时间越短 D．只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场 AD　解析：带电粒子从A点沿AO方向进入磁场从B点离开，由左手定则可以确定粒子带正电，A正确；由题意知当粒子从A点入射时，从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径，根据磁聚焦的原理(一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动的半径相同的圆形磁场区域时，这些粒子将从同一点射出圆形磁场，这种平行粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦)，当入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示， 从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点B射出，从图中看出，入射点越靠近B点，粒子偏转角越小，运动时间越短，离B点越远，粒子偏转角越大，运动时间越长，B、C错误，D正确。 4．(2024·安徽合肥八中模拟)如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　) A．1∶1 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 C　解析：粒子在磁场中运动时，由Bqv＝得，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿逆时针方向偏转，做圆周运动。 粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端到A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，到A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d；因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝d。故两区域长度之比为L∶L′＝d∶d＝∶2，C正确。 5.(2020·全国卷Ⅰ)一个匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A． B． C． D． C　解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qBv＝，T＝，可得粒子在磁场中运动的周期T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。如图甲所示，采用放缩圆法解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆的圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐增大。当半径r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当0.5R<r<1.5R时，粒子从半圆边界射出，将轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹对应的圆心角从π逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大(如图乙)，即轨迹对应的最大圆心角θ＝π＋＝π，因此粒子运动的最长时间为t＝T＝·＝，C正确。 综合提升练 6．(2021·湖南卷)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一，带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在Oxy平面内的粒子，求解以下问题。 (1)如图(a)所示，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； (2)如图(a)所示，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)； (3)如图(b)所示，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅰ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)。 答案：(1) 　(2)　方向垂直于纸面向里　πr22　 (3) 　 　(－1)r32　(－1)r42 解析：(1)粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径是相同的。题图(a)中正对A点进入圆形磁场的粒子，会通过坐标原点O，所以粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，由洛伦兹力提供向心力有qvB1＝m 解得B1＝。 (2)题图(a)虚线框中圆形磁场为最小的匀强磁场区域，则粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于该磁场半径；虚线区域内磁场的半径为r2，由洛伦兹力提供向心力有qvB2＝m 解得B2＝ 根据左手定则可知磁场的方向为垂直于纸面向里，圆形磁场的面积S2＝πr22。 (3)由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度分别为BⅠ＝，BⅢ＝ 所以阴影部分的面积为 SⅠ＝SⅡ＝2×( πr32－ r32)＝(－1)r32 类似地可知Ⅳ区域的阴影部分面积为 SⅢ＝SⅣ＝2×( πr42－ r42)＝(－1)r42。 7．(2021·广东卷)如图所示是一种花瓣形电子加速器的简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间的电势差为U，圆b的半径为R，圆c的半径为R，电子的质量为m、电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4。 (1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头的实线所示，求Ⅰ区磁感应强度的大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； (2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 答案：(1)　　8eU　(2) 解析：(1)电子在电场中加速，有2eU＝mv2 在磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力，有B1ev＝m 由几何关系有r＝R tan 22.5° 解得B1＝ 电子在磁场Ⅰ中运动的周期为T＝ 由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为φ＝π 则电子在磁场Ⅰ中运动的时间为t＝T 解得t＝ 由题意可知，电子从Q点出射时的动能为Ek＝8eU。 (2)设电子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系有 (R－rm)2＝R2＋rm2 解得rm＝R 由洛伦兹力提供向心力有B1evm＝m 由动能定理有2eU＝mvm2－Ek0，其中Ek0＝keU 联立解得k＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$