课时跟踪检测(64) 存在性问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(64)　存在性问题 基础强化练 1．(2024·重庆联考)直线l过点P(0，b)且与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B(A，B都在x轴同侧)两点，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D. (1)若b＞0，|AC|＋|BD|＝p，证明：l的斜率为定值； (2)若Q(0，－b)，设△QAB的面积为S1，梯形ACDB的面积为S2，是否存在正整数λ，使3S1＝λS2成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：据题意设直线l方程是y＝kx＋b(k＞0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AC|＋|BD|＝p，∴y1＋y2＝p， 联立消去x，得ky2－2py＋2pb＝0， ∴y1＋y2＝＝p， ∴k＝2，即l的斜率为定值2. (2)解：由(1)Δ＝4p2－8pkb＞0，即0＜kb＜p， ∵点Q到直线l的距离d＝， 且|AB|＝|x1－x2|， ∴S1＝|AB|d＝|b||x1－x2|，S2＝(|AC|＋|BD|)·|CD|＝|y1＋y2||x1－x2|＝|x1－x2|， ∴＝＝＝， ∵0＜kb＜p，∴0＜＜， 假设存在正整数λ，使3S1＝λS2成立，则0＜＜， ∴0＜λ＜. ∴存在正整数λ＝1，使3S1＝λS2成立． 2．(2024·河北沧州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，p)，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线y＝－x交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点Q(2，0)作QH⊥l，垂足为H(不与点Q重合)，是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，p)， 所以p2＝2p，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)如图，设点M(，y1)，N(，y2)， 联立得G(，－)， 又因为点M关于点G的对称点为P， 所以点P(，－－y1)， 由O，N，P三点共线，可得kOP＝kON，即＝，化简得2(y1＋y2)＋y1y2＝0， 设直线l的方程为x＝my＋n，联立 消去x，得y2－4my－4n＝0， 则Δ＝(4m)2－4×(－4n)>0，即m2＋n>0， 可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， 代入2(y1＋y2)＋y1y2＝0，可得8m－4n＝0，可得n＝2m， 所以直线l的方程：x＝my＋n，即x＝my＋2m， 则x＝m(y＋2)，所以直线l过定点E(0，－2)， 因为QH⊥l， 所以点H的轨迹是以EQ为直径的圆(除去E，Q两点)，圆心为(1，－1)，半径为， 所以存在定点T(1，－1)，使得|HT|为定值，该定值为. 能力提升练 3．(2024·山东潍坊模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，点(1，)在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为－1，点A(－，0)，问是否存在定点B，使得·＝0？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知，椭圆C的半焦距c＝1，焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且过(1，)， 由椭圆定义得：椭圆长轴长2a＝＋＝2， 即a＝，b2＝a2－1＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设点P(x0，y0)，显然x0≠±，过点P的直线方程为y－y0＝k(x－x0)， 联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－2＝0， 因为直线l与C相切，则Δ＝16k2(y0－kx0)2－8(1＋2k2)·[(y0－kx0)2－1]＝0， 得(y0－kx0)2＝1＋2k2， 即(x－2)k2－2x0y0k＋y－1＝0， 设直线l1，l2的斜率分为k1，k2，显然k1，k2是上述关于k的一元二次方程的两个根，则k1k2＝＝－1，化简得x＋y＝3(x0≠±)，即点P到坐标原点O的距离|PO|＝， 故点P在以O为圆心，为半径的圆上(不包括(－，±1)，(，±1))，并且是动点，而点A为该圆上一定点， 则当满足·＝0时，AB为圆O的直径， 即点B(，0)， 所以存在点B(，0)满足题意． 素养养成练 4．(2023江苏南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点(1，)，直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为－. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当m＝1时，椭圆C上是否存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(，)， 即kOM＝＝－. 因为A，B在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0， 即＋＝0， 又因为kAB＝＝1，所以－＝0，即a2＝2b2. 又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1， 解得a2＝4，b2＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)不存在，理由如下．由题意可知，直线l的方程为y＝x＋1. 假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称， 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为N(x0，y0)， 所以x3＋x4＝2x0，y3＋y4＝2y0， 因为P，Q关于直线l对称， 所以kPQ＝－1且点N在直线l上，即y0＝x0＋1. 又因为P，Q在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0， 即＋＝0， 所以＝，即x0＝2y0. 联立解得即N(－2，－1). 又因为＋>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾， 所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$