课时跟踪检测(63) 定值问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(63)　定值问题 基础强化练 1．(2024·江苏南通高三期末)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1∥BF2.证明：＋为定值． (1)解：由点(，b)在C：－＝1上， 有－＝1，解得a2＝1， 由点(e，3)在C：－＝1上，有×－＝1， 即c2－＝1，即1＋b2－＝1，所以b2＝3. 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：由AF1∥BF2，设直线AF1的倾斜角为θ，如图，连接AF1，BF2， 由双曲线的定义可得|AF2|＝2a＋|AF1|＝|AF1|＋2，|BF1|＝2a＋|BF2|＝|BF2|＋2， 又|F1F2|＝2c＝4， 在△AF1F2中由余弦定理可得|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos θ， 即(|AF1|＋2)2＝|AF1|2＋16－2×4·|AF1|·cos θ， 所以|AF1|＝， 在△F1BF2中，∠F1F2B＝π－θ，同理可得|BF2|＝， 所以＋＝＋＝， 所以＋为定值． 2．(2024·福建厦门一中模拟)已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，|AB|＝，直线AB的斜率为－. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线l∥AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D. (i)求△OCM的面积与△ODN的面积之比； (ii)证明：|CM|2＋|MD|2为定值． (1)解：∵A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个顶点，且|AB|＝， 直线AB的斜率为－， 由A(a，0)，B(0，b)，得|AB|＝＝， 又∵k＝＝－＝－，解得a＝2，b＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)解：设直线l的方程为y＝－x＋m，则M(2m，0)，N(0，m)， 联立方程消去y，整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，得m2<2， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2. (i)解：∵S△OCM＝|2m||y1|，S△ODN＝|m||x2|， ∴＝＝＝＝1， ∴△OCM的面积与△ODN的面积之比为1. (ii)证明：|CM|2＋|MD|2＝(x1－2m)2＋y＋(x2－2m)2＋y＝x－4mx1＋4m2＋(－x1＋m)2＋x－4mx2＋4m2＋(－x2＋m)2＝(x1＋x2)2－x1x2－5m(x1＋x2)＋10m2＝5m2－(2m2－2)－10m2＋10m2＝5. 综上，|CM|2＋|MD|2＝5. 能力提升练 3．(2022·河北石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且过点A(2，－1)，直线l与曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线与M，N两点，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求证：△MON面积为定值，并求出该定值． (1)解：设双曲线C的焦距为2c(c>0)， 由题意可得：⇒ 则双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)证明：由于直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m， 则消y得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－4(4k2－1)(4m2＋4)＝0⇒4k2＝m2＋1，① 设l与x轴交于点D，|OD|＝， S△OMN＝S△MOD＋S△NOD＝OD×|yM－yN|＝·|k|·|xM－xN|， 双曲线两条渐近线方程为y＝±x， 联立⇒M(，)， 联立⇒N(，)， 则S△MON＝·|k|·＝·|k|·＝··|k|·＝2. 故△MON的面积为定值，定值为2. 素养养成练 4．(2024·山东省实验中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：＋＝1于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若－为定值，求实数λ的值． 解：(1)设P(x，y)，依题意，＝|x|＋1， 两边平方并整理，得y2＝2|x|＋2x， 所以曲线C的方程为y2＝2|x|＋2x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，如图， 依题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 由消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0， 而点F为椭圆E的右焦点， 因此x1＋x2＝，x1·x2＝，则|AB|＝·＝·＝， 由(1)知，y2＝2|x|＋2x＝ 若直线l交曲线C于M，N两点，且k≠0， 则直线l与y2＝4x(x≥0)相交， 由联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 而点F为抛物线y2＝4x的焦点， 则x3＋x4＝，于是|MN|＝x3＋x4＋2＝，Δ>0， 从而－＝－＝， 要使－为定值，则4λ－3＝3λ，即λ＝3， 所以实数λ的值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$