课时跟踪检测(61) 范围问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(61)　范围问题 基础强化练 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，). (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈(，2)，求|AB|的取值范围． 解：(1)依题意得解得 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2). 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得P(，)， 代入椭圆C的方程得t2＝. 由<t<2，得<k2<， |AB|＝|x1－x2|＝·＝2. 令u＝，则u∈(，)， ∴|AB|＝2∈(0，)， ∴|AB|的取值范围为(0，). 2．(2024·四川成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(0，1)的直线交椭圆C于A，B两点，求·的取值范围． 解：(1)∵e＝＝，2b＝4，∴b＝2， 又∵a2＝b2＋c2，即a2＝4＋a2，解得a＝4，c＝2， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率不存在时，AB：x＝0，不妨设A(0，2)，B(0，－2)，则·＝－4， 当直线AB的斜率存在时，设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(4k2＋1)x2＋8kx－12＝0， Δ＝64k2＋48(4k2＋1)>0恒成立， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(k2＋1)·(－)－＋1＝＝＝－4－∈[－11，－4)， 综上，·的取值范围为[－11，－4]. 能力提升练 3．(2024·河北联考)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P是抛物线上横坐标为2的点，且|PF|＝3. (1)求抛物线C的标准方程； (2)如图，设直线l交抛物线C于M，N两点，若|MN|＝4，且弦MN的中点在圆(x－a)2＋y2＝1上，求实数a的取值范围． 解：(1)抛物线的渐近线为x＝－， 由抛物线的定义可知，2＋＝3⇒p＝2， 则抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为x＝ty＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2). 将直线l的方程与抛物线的方程联立， 得y2－4ty－4m＝0，于是Δ＝16(t2＋m)>0， y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 且|MN|＝|y1－y2|＝ ·＝4， 化简得(1＋t2)(t2＋m)＝1　①. 设弦MN的中点为G(x0，y0)，则 将点G的坐标代入圆的方程，得(2t2＋m－a)2＋4t2＝1，且4t2≤1， 由①代入消元，消去m，得(t2＋－a)2＋4t2＝1. 令s＝t2＋1，则s∈[1，]，于是(s＋－1－a)2＝5－4s，解得a＝s＋－－1或a＝s＋＋－1. 若当a＝s＋－－1时，由对勾函数性质可知， 函数y＝s＋在[1，]上单调递增， 所以a随s单调递增(增＋增)，故a∈[0，]. 若当a＝s＋＋－1时， 令f(s)＝s＋＋－1， 则f′(s)＝1－－. 因为>2，所以f′(s)＝1－－<－1， 即y＝f(s)单调递减，故a∈[，2]. 综上所述，实数a的取值范围为[0，2]. 素养养成练 4．(2024·湖南岳阳模拟)双曲线C：－＝1的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的标准方程； (2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 解：(1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2， 由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2， 解得a＝1或a＝－2<0(舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)显然直线MN不可能与坐标轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n， 联立消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝， 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 代入根与系数的关系得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n·(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简可消去所有的含m的项，解得n＝5或n＝－1(舍去)， 则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝， 又因为点M，N都在双曲线的右支上， 故有3m2－1<0，0≤m2<， 此时1≤<，d＝∈(3，6]， 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]. 学科网（北京）股份有限公司 $$